CONVERSION D'UNB PB ACTION OBPINAIRB EN DÉCIMALES

tions ordinaires est loin d'être aussi simple. Aussi dans la pratiqne emploie-t-on à peu près exclusivement les nombres décimaux . et quand 11 se pré9ente d(es fractions ordla^irô» 9 on les convertit en fractions décimales ^ sqU exactemept^ soit $ippf oximativemcnt ,* car toutes les fractions ordinaires ne sont pas susceptibles d'être exactement converties en décimalei. Il y a pour cela une isopdition <iae nous allpns d*abor(} f4iF^ connaître :

IBO. Théorème L Pour qu'une frctction ordinqire ip'44ffctible puisse être exactement convertie en frflction d^miJ^hf if fqut et il mgit qué son déf^omn(U^%fr m renferme aticun facteur premi^ différmt de 2 ou de 5.

Cette condition est nécessaire. £9 effets supposons qu'une fractipp Irréductible r puisse être exactement convertie en fraction

décimale ; cela veut dire qu'il existe une fraction décimale 5

tu«.

a exactement égale à -; nons devo][is po\f Tég^^t^

Multipliant de part et d'autre par 10", 11 vient

C étant un nombre entier, il résulte de cette égalité que a x 10**

a doit être divisible par 6 ; mais b est premier avec a , puisque j

f^i j|rréf}aptiWe ; ^qj^ b 4pi]t dlylf^j- 10*» {87). Ton? ]e^ facteurt de b doivent exister dans 10»» (96) ; mais dans lO" = lô x 10 x 10. .., il n- entre que les facteurs premiers 3 et 5 de 10 ; donc b ne doit renfermer aucun facteur premier différent de 2 et de 5. Cette condition eut sufftsanVe. En effet , supposons que ft = 2^ x

'19 19 S; fpi'il s'açlsse , flj^r ^xp^mP. ^ ^^ \^ ^F^^^PP» m ^^FxS' ^^^^

aurons :

ftp""29î<5"~ 2»^5^~(2 X5)»"~1P0Û

120 COURS D'ARITHIItTIQUB.

--- est donc égale à la fraction décimale 0^/i75. Quand le dénominateur de la fraction ordinaire donnée ne renfenne ainsi que des facteurs premiers 2 et 5» il est toujours possible évidemment de rendre égaux les exposants de ces deux facteurs dans le dénominateur, en multipliant les deux termes, comme nous venons de le faire, par une puissance convenable de celui de ces facteurs qui a le plus petit exposant.

On peut faire cette remarque :

181. Qudnd une fraction ordinaire irréductible peut êtreexoKh tement convertie en fraction décimale, le nombre dee chiffres décimaux de cette dernière est égal au plus grand des eùcposanU de2ei de 5 dans le dénominateur de la fraction proposée.

182. Si toutes les fractions ordinaires ne sont pas susceptibles

d'être exactement converties, en fraction décimale > toutes peuvent

l'être à moins de 0, 1, de 0, 01, etc., à moins d'une unité déci-

maie d'un ordre désigné Quelconque, jr--.

Proposons-nous f par exemple, de convertir ^ en fraction dé-

dmale?

— peut être considéré comme le quotient de 19 par 28, ou

la 28^^'* partie de 19. La 28'^""* partie de 19 est moindre que 1 ; donc le nombre décimal cbercbé n'aura pas de partie entière ;. écrivons au quotient un zéro, suivi d'une virgule, pour tenir la place de cette partie entière. Gela fait, évaluons notre quotient en dixièmes: 19 unités valent 190 dixièmes; pour connaître la 28^^' partie de 190 dixièmes, il nous faut diviser 190 par 28. Le quotient entier de cette division est 6 et le reste 22 , donc

190 dixièmes = (28 x 6) dixièmes + 22 dixièmes.