RAPPORT 0ES GRANDEURS CONCRÈTES
grandeurs proposées mesurées avec la mime unité, oueommuM mesure queiconque.
Cette deuxième définition rentre dans la première.
Supposons que, partant de la f définition , on ait trouvé que
le rapport de 2 grandeurs est tt ; ^^1^ signifie que 1/14 de la
la
2" grandeur est contenu 30 fois dans la première; cette quatorzième partie de la 2' grandeur est une commune mesure des deux grandeurs, qui, prise pour unité, se trouvera contenue 30 fois dans la première et iU fois dans la deuxième; en mesurant avec
cette unité , on trouvera donc que 77 est le rapport des 2 gran-
la
deurs, suivant la deuxième définition.
Réciproquement^ supposons qu'en mesurant les 2 grandeurs
avec une commune mesure quelconque , on ait trouvé , suivant la
2' définition , que jj est le rapport de 2 grandeurs : cela signifie
que cette commune mesure a été trouvée contenue exactement 30 fois dans la première et ik fois dans la seconde; cette commune mesure est donc la quatorzième partie de la seconde grandeur; la première grandeur contenant 30 fois le quatorzième de
la seconde doit être exprimée par la fraction -rr quand cette
la
deuxième grandeur est prise pour unité (110). — est donc le
rapport des deux grandeurs, suivant la l'* définition»
Les deux définitions rentrent donc bien Tune dans Tautre.
307. On peut s'appuyer sur Tune ou Tautre au besoin pour étudier les propriétés des rapports et les soumettre au calcul.
Il résulte de la l'« que le rapport de deux grandeurs est un nombre unique bien déterminé, qu'on trouverait toujours le même si partant de la 2« définition , on l'évaluait successivement à Taide de diverses unités ou communes mesures.
Il résulte de la seconde définition , que toutes les propriétés du rapport de deux nombres appartiennent au rapport de deux grandeurs de même espèce. Tout ce que nous avons dit du rapport de deux nombres, (définitions et propriétés), s'applique donc
230 GOUBS D'âlUTHHtTIQUE.
littéralement au rapport de deux grandeurs; nous ne le répéterons pas.
308. Il peut arriver qu* aucune paftie aliquote de la 2* grandeur ne soiteontenue un nombre entier de fois dans la V*, ou, ce qui revient au même, que les deux grandeurs n'aient pas de commune mesure. Alors le rapport des 2 gratldeufs ne peut s'exprimer ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire.
On dit alors que les deux grandeurs sont incommensurables entre elle»; leur rapport est un nombre incommensurable qui ne peut être évalué exactement , mats seulement avec une approximation d*ailleurs aussi grande que Von veut»
On appelle rapport de deux grandeurs quelconques à moins d'une unité le plus grand nombre entier de fois que la 2" est contenue dans la !'•.
On appelle rap{)ort dé deux gtandeufë ft âioilis de *, r > 7 v - un nombre
composé d'autant de demies , de tiers , de quarts... de n^^°>^ , que la première
grandeur contient de fois au plus la moitié, le tiers, le quart , la lô^^^ partie
de la 2" grandeur.
On peut évaluer à moins d'une traction donnée quelconque * le rapport de
deux grandeurs de même espèce , comrhensurables ou incommensurables entre elles. En efifet, cela revient à trouver le plus grand nombre entier de fois que la ni*™« partie de la 2* grandeur est contenue dans la première ; or toute grandeur considérée en mathématiques est telle que Ton peut toujours savoir le pins grand nombre entier de fois qu'elle contient une grandeur quelconque de même espèce prise pour unité.
Supposons qu'on veuille évaluer en fraction décimale le rapport de deux pudeurs quelconques de même espèce (Ex. : Deux longueurs dont l'une serait le mètre).
On cherche d'abord le plus grand nombre entier de fois que la seconde grandeur est contenue dans là !'•. Suppôsohs, ^our fixer les idées, qu'elle y soit contenue 15 fois; 15 est la partie entière du nombre décimal cherché; c'est la valeur de ce rapport à moins d'une uilité. Si ce nombre de fols la 2« grandeur n'est pas toute la 1'*, on partage la 3« gfailâetir en iO i>artie8 égdles ; ptiis on cherche combien il y a de ces dixièmes flan? la partie nob eneore mesurée de la 1'* grandeur. Supposons qu'il y en ait 7, et un reste ; 16, 7 est le rapport des 2 grandeurs à moins de 0,1.
Pour continuer, on subdivise un dixième de la 2« grandeur en dix centièmes, et on cherché combien il y ri de ces centièmes driris le reste susdit de la !»• grandeur ; supposons qu'il en contienne 8 aree un reste; 15,73 eàt le ra{)|)ort des deux grandeurs à moins de 0,01. On continue de la même manière jusqu'à ee que l'une des parties décimales successives de la 2* grandeur soit contenue exactement dans le reste correspondant de la 1»% ou bien qu'on ait obtenu autant de chiffres décimaux du rapport que l'on veut (•).
f*) Ce rapport lui-^me de k \^ grandeur donnée àla t* est la limite dtl
