AC C'D

rayons CD, C'D'; nous AVONS TE TS + Mais pour une sécante 47, en mettant CZ et C’I' au lieu de CD et CD, on aura ee A donc CZ est parallèle à C'Z’.

AC dep ln

‘On mènera donc deux rayons parallèles quelconques CZ, C'I'; la droite ZZ' ira couper C’C au point 4, par lequel menant la tangente à l'un des cercles, elle le sera aussi à l’autre. Lorsque les cercles ne se coupent pas, il y a une seconde solution en 4’, ce qui fait quatre tangentes.

LIL. Par deux points donnés C et D (fig. 98), tracer une circonference qui touche la droite donnée AB? Cette droite ne passe pas entre Cet D, puisqu'elle couperait la corde CD : en joignant Cet D par une droite prolongée en 4 jusqu’à la rencontre avec 4B, AD et AC sont connus, et il s’agit de trouver 4B, car il ne restera plus qu’à faire passer un cercle par trois points donnés B, C, D (n° 198). Or, 4B est tangente et 4Csécante (n° 229), d'où 4B2 = 4C X AD:

on trouvera aisément (n° 226) la moyenne proportionnelle entre AC et 4D.

Le problème a deux solutions , attendu qu’on peut porter la lonsueur AB en sens opposé; voy. n° 329, II, et la fig. 197, où 4 et B sont les points donnés et DD” la tangente.

Si la tangente était donnée parallèle à la corde, comme fig, 54, où 4, B sont les points donnés, et 7G la tang., le centre serait visiblement sur FF" perpend, au milieu de la corde 4B, et le pied F serait le point de contact. Il faudrait ensuite tracer le cercle qui passe par 4, Bet F.

IV. Décrire un cercle CAB qui passe par un point donné m (fig.101), et touche deux droites données DA, BD. On a vu (n° 210, 1) que le centre de ce cercle est sur CD coupant par moitié l’angle 4DB. D'ailleurs, la corde im perpend. sur CD est coupée en o par le milieu : ainsi on mènera cette perpend. sur CD, on prendra om— où, et il restera à faire passer un cercle par 2 et =, qui touche DB ou DA.

Si le point donné est en 4 sur l’une des droites, le centre est à la rencontre C de DC avec 4C perpend. à DA.

On sait donc tracer un cercle qui passe par trois points, ou par deux points et touche une droite, ou par un point et touche deux droites,ou enfin un cercle qui touche troisdroites données (n° 210,1).

V. Tracer un cercle BiA (Gg. 101) fangent à deux droites DA, DB, et à un cercle Km donné. Le centre C est sur CD, qui coupe en deux parties égales l'angle BD A : de ce centre inconnu Ctraçons un cercle 4KG passant par le centre donné K ; que ce centre Æ soit transporté en un point quelconque de HKG, le cercle C 4m doit être tangent à ce cerele mobile. Considérons celui-ci dans sa position 74, où iltouche DA ; la tangente LH à l'arc {ZX est perpendiculaire au rayon CH, et par conséquent parallèle à 24. Donc la droite LH est connue, puisqu'elle est parallèle à D4, et distante de DA de la quantité donnée Km — HA. I faut en dire autant de Z'H' parallèle à DB. Ainsi le cercle HKGH! sera facile à décrire, puisqu'il est tangent aux droites tracées LA, L'A', et passe en K ; ce cercle KG a le même centre C que celui qu’on cherche ; il ne reste donc qu’à mener CÆ, et Cm sera le rayon demandé.

Comme les parallèles LH, L'H' peuvent être menées dans l’angle D, le problème comporte deux solutions, pouryu que la circonf. Km ne coupe DA, ni DB. -

On trouve, dans le 2° Supplément à la Géom. descript. de M. Hachette, un grand nombre de problèmes de ce genre.

VI. Trouver un point C (fig. 117) sur la circonférence 4BD), tel que les cordes BC, CD, menées à deux points donnés 4 et D de cette

L k m courbe, soient entre elles dans un rapport donné — —. En suppoa PP

sant le problème résolu, la ligne CO qui coupe en parties égales l'angle BCD (n° 224), donne TT — = = on prendra donc le milieu À de l’are D AB, et l’on partagera en © la corde DB dans le rapport donné ; la droite 40 prolongée donnera Île point C. VII. Étant données la corde 4B — k, et la hauteur DE —h d’un segment ABDE de cercle (fig. 52), trouver, par le calcul, le rayon DC = r? Le triangle rectangle 4DE donne 4D°=+k? —L h°; mais on tire du n° 227, pie 2hr; ainsi, en égalant à deux valeurs,

on trouve r = + h + = On a coutume de donner le nom de flè-

che du segment à sa hauteur DE. |

Si 4 — 313 et k — 12,32, on trouve r — 1000. Cette formule peut servir à faire retrouver le centre C d'un arc tracé. |

VIII. Par le point B (fig. 102) d’intersection de deux cercles, mener une corde CD, qui ait une longueur donnée #. Supposons le problème résolu ; menons par le point B une ligne quelconque EF, et joignons À avec £, C, Fet D; les triangles 4EF, ACD ont l'angle £ — C, comme appuyé sur le même arc B1A ; de même, F — D : ainsi, — ns , et AC est une quatrième proportionnelle à £F, Met AE ; on prendra donc FL — M ; on mènera ZX parallèle à 4F, AK sera — 40 : il ne s'agira plus que de décrire du centre 4, avec ce rayon 4K, un cercle qui donnera, par son intersection , le point C ou C’ : on a ainsi les deux solutions du problème, qui serait absurde si l'arc décrit avec le rayon 4K était entièrement au dehors du cercle 4£.

IX. Proposons-nous de couper une ligne CA (fig. 103) en deux parties telles, que la plus grande BC soit moyenne proportionnelle entre l’autre partie 4B et la ligne entière AC ; c’est ce qu’on appelle couper la ligne AG en moyenne et extrême raison. La proportion AB : BC :: BC : AC ne peut faire connaitre BC, parce qu’elle contient une 2° inconnue 4B ; mais augmentant chaque antécédent

de son conséquent (n° 73, 1°), comme 4C — 4B + BC, on a AC: BC :: BC4+ AC: ACou AC =BC (BC + AC); il s’agit donc de déterminer sur 4C un point B tel, que ZC soit moyen proportionnel entre BC et BC — AC; c'est ce qui aura lieu si l’on construit un cercle dont C soit la tangente, BC Æ 4C la sécante entière, et BC la partie extérieure (par conséquent Æ4C la partie interceptée dans le cercle). Élevons en 4 la perpendiculaire AD = =: AC, menons l’hypoténuse DC ; nous avons