Ainsi, lorsque les trois côtés d’un RUE sont donnés, il

est bien aisé de juger de là nature de chacun de ses angles ; on prendra les perpend. 4B et 4C (fig. 16) égales aux deux petits côtés

bet &, et l'on mènera BC ; suivant qué BC sera , © où = a, l'angle opposé au grand côté à sera aigu, obtus ou droit : dans ce dernier cas, BAC serait le triangle même.

Si les côtés sont donnés en nombres, après en avoir fait lés carrés a°, b? et «, on comparera le plus grand à la somme des déux autres, et, Suivant qu’il sera égal, plus petit ou plus grand que cette somme, l’angle opposé sera droit, aigu ou obtus. Le calcul pétt même dünner la longueur de la perpend, BD = h (fig. 64), Cat on tire de notre formule,

A0 AGE st At Mr) 2b

æ devient négatif, lorsque l'angle auquel se rapporte le segment x est obtus, comme pour le triangle 4’BC, pour lequel & © be. La res prend le signe - quand a < à, comme fig. 65.

Le second seoment de la base est CD = y = b — x; enfin, la hauteur est *

h—=BD=Y (c+x) (c— x).

Toutes ces formules se prêtent aux log. Soient, par exemple, a —= 150, b=— 66, c — 110; on voit que le triangle est possible (n° 206, 46), car 150 << 110 -E 66, et © 110 — 66. De plus, 159° © 110: L 66°, donc l'angle ést obtus ; on trouvé AD = x = 33 — 78,78. ..— — 45,7878.... BD — h— 100,017.

224. Si la ligne AC (fig. 93) divise en deux parties égales l’angle À au sommet du triangle BAD , les côtés AB et AD sont proportionnels aux segments BC et CD de la base. En effet, en prolongeant DA en £, ‘ p, LE AB AEX., jusqu’à la rencontre de BE parallèle à 4C,on a Do — GC ° °': l'angle BAC— ABE = DAC, de plus £ = DAC; donc Ê = ABE.

AD AB Le triangle Æ 4B étant isocèle , on a AE — AB ; donc DC — EC

225. Les parties de deux cordes BE, DC (fig. 94) qui se coupent

en À, forment des produits égaux * BA X AE = DA X AC. En

* On peut donc trouver la surface d’un triangle dont on connaît les trois côtés, puisqu'on a sa base & et sa hauteur k. Dans notre exemple numérique, cette aire est

*#* On énonce ordinairement ainsi ce théorème et celui du n° 228 : Les cordes se cou- 16*

effet, menant BC et DE, nous avons les triangles BAC, DAE qui sont semblables à cause des angles (p. 233) inscrits au même arc, Er À de — D. Comparant les côtés homologues , il vient BA Ps d'où BA X AE = AD X AC.

226. La perpend. 4D (fig. 95) au diamètre BE se nomme une ordonnée.

L’ordonnée AD est moyenne proportionnelle entre les segments, AB, AE du diamètre ; car AD — AC dans la proportion qui précède. D'ailleurs, ceci revient au n° 221, 1°, puisque (fig. 92) le triangle rectangle 4BC est inscriptible au demi-cercle.

Si l'on veut donc une ligne x moyenne proportionnelle entre deux lignes données m etn (fig. 95), on prendra, sur une droite indéfinie, AB=m, AE = n; on élèvera une perpend. DC au point 4, et sur le diamètre BE on tracera un cercle BDEC; AD sera x.

227. Il résulte aussi de la proposition (n° 221, 2) que (fig. 92) la corde AB est moyenne proportionnelle entre le diamètre BG et le segment BD correspondant. On a donc (fig. 96) B4° = BC X BD

NBA ADN etBE? = BC X BF, d'où —— BRUT RTE cordes qui partent d’un même point de la circonférence sont entre eux comme les segments du diamètre qui passe par ce point.

226. Toute sécante AE, AC (fig. 97) multipliée par sa partie extérieure AB, AD, donne le même produit, AB X AE — AD X AC : en menant les lignes DE, BC, on a les triangles semblables 420, ADE'; car outre l'angle commun 4, ils ont C = E (p.233). Ainsi,

ainsi, les carrés de deux

AB ACuigis RAD ape JOÙ AB X AË— AD X AC:

La tangente AB (fig. 98) est moyenne proportionnelle entre une sécante quelconque AC et sa partie extérieure AD. En effet, en menant BD, les triaugles 4BD , ABC sont semblables, car outre l’an-

gle commun, on a C— A4BD (n° 211, 4°) ; ainsi, LE di ei

ou 4B? — AD X AC.

pent en parlies réciproquement proportionnelles ; les sécantes sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures. Nous avons préféré les énonciations cidessus, comme comprises dans une phrase plus claire et plus facile à se présenter à l'esprit.

Ces théorèmes peuvent être renfermés en un seul; car, soient a et b les distances mesurées sur la droite 4C (fig. 94, 97), d’un point À à la circonférence, ou 4D — a, AC — b; soient de même a” et b'les parties analogues pour une autre ligne 4B£, où 4B—#", AE = b'; on aab= «'b', quel que soit l'angle sous lequel les lignes se coupent, et en quelque lieu que soit le point 4. Si l’on fait tourner 4E autour de 4, les points d’intersection B et Æ changeront, et lorsque la ligne 4B (fig. 97) sera tangente, B et FE coïncideront ; ainsi & — b’, d'où ab — «”?.

229. Voici plusieurs problèmes qu’on résout par ces divers principes :

I. Mesurer la hauteur d’un édifice AB (fig. 99). On plante verticalement un piquet ou Jalon DE ; puis on dirige un rayon visuel DB au sommet B, et l’on marque le point C où il rencontre l’hori-

CE A Lie :

200; ON a =; tout est ici connu, excepté le 4° terme 4B, qu’on détermine par le calcul (n° 72, 2e). ,

On pratique cette opération plus commodément en se servant des longueurs 4C et CE" de l’ombre que projettent les hauteurs AB, D'E" sur l'horizon.

IL. Mener une tangente à deux cercles (fig. 100). Soit 4D'D cette tangente ; joignons les centres par la ligne 4C'C, et menons les