PARTS

Baie

rait cette opération (n° 212, 111), on s’est longtemps, mais en vain, M efforcé de trouver la solution de cette question. Elle est miaintenant démontrée impossible par le secours de la règle et du compas seuls

241. Nous terminerons par l'exposition de quelques propriétés des quadrilatères inscriptibles au cercle.

I. On à, dans le quadrilatère 4BCO (fig. 116), 4 EL C—=2 droits, puisque les angles 4 et C embrassent la circonférence en-

tière (n° 211) ; de même, B EL O— 2 droits. Ainsi, dans tout qua- À

drilatère inscriptible au cercle, les angles opposés sont supplémentaires. |

Réciproquement , si 4 + C— B4 O0 —92 droits, le quadrilatère ABCO est inscriptible au cercle, puisque si la circonférencé passant par 4OC, ne passait pas en PB, l'angle B’ ne serait pas le supplément de O (n° 218).

Donc, on peut toujours circonscrire un cercle à tout rectangle ABCD (fig. 110);les diagonales BD, AC sont les diamètres.

IL. Dans tout quadrilatère 2nscrit ABCD (fig. 117), le produit des diagonales égale la somme des produits des côtés opposés. Car, menons CK qui fasse l'angle KCD = BCO ; d’où BCK — OCD, en ajoutant OCK aux deux membres : 6r, l’angle B4C — BDC (n° 211) ; ainsi les triangles BAC et XCD sont semblables. De même, l’angle CBK = CAD, et le triangle CBK est semblable à C4D..Donc on à

KD AB BK __ AD CD ACC 1740

d'où AD X AC = AB X CD, BK X AC = ÀD K BC: sjou-

tant ces équ:, il vient enfin 4C X BD= ABX CD + AD K BC.

III: Si des points 4 et B (fig. 108), on abaisse sur la base DC du parallélogramme {BCD les perpendiculaires 4£, BF, les triangles 4DC, BDC donneront (n° 222)