AC = AD? + DC — 2DC X DE, BD* = BC + DC + 2DC X CF
En ajoutant ces équ., comme DE = CF et 4B — DC; ona BD? L 4C° — AD° 4 BC? + DC + AP.
“het re j
Ainsi, dans tout parallélogramme , la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés. La proposition est d’ailleurs évidente pour un rectangle (n° 221, 4).
Des Figures semblables et de la Circonftrence.
242. On dit que deux polygones (fig. 118) ABCDEF, abcdef sont semblables , lorsqu'ils sont formés des triangles T ett, T'ett, s T'eét”...., respectivement semblables et disposés dans le NA ordre.
Sur une droite donnée ab, homologue à 4B, il est aisé de décrire un polygône abcd,... semblable à 4BCD .... On fera d’abord # semblable à 7, ce qui ne présente aucune difficulté (n° 218); puis t semblable à 7”, sur ac homologue à 4C, etc.
Les polygones semblables ont les angles égaux et les côtés homoloques proportionnels. Gar les triangles semblables J'et # ont l’angle B —:b, ainsi que l'angle BCA — bca; de plus (n° 218),
= 7. De même, 7’ et # ontl’angle 4CD — acd; d’où l'on voit que l'angle BCD = bcd : en outre, + Hu ui 2
ac de bc . On prouverait de même, à l’aide de 7”’et #”, que l'angle CDE =cde, ; CD DE ei que cd Riad
Réciproquement , si les polygones ont les angles respectivement
AB BG .C égaux, et si de plus Ses pr == etc., les polygones sont
semblables ; car B — b, et les côtés qui comprennent ces angles sont proportionnels, par hypothèse; d’où il suit (n° 219) que T'ett sont |
semblables, et de plus, 30 = ae, et l'angle BCA — bca. Retran-
bc chant ces angles de BCD = bcd, il reste l'angle 4CD — acd; et comme on suppose He ie he J'en À di PRISON ER U go à Cause du
BC Û rapport commun » 7? Ce Qui prouve que T' est semblable à #; et
ainsi de suite. |
1° Les polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont des figures semblables, puisque leurs angles sont respectivement égaux, ainsi que leurs côtés (n° 235).
2° Si après avoir conduit les diagonales des angles 4 et a (fig. 119), on a des triangles semblables chacun à chacun, les angles sont égaux, et les côtés homologues proportionnels : donc, si l'on mène les diagonales d’un autre angle tel que £, e, les nouveaux triangles composants seront aussi semblables.
8° Donc, deux diagonales homologues quelconques BE, be (fig. 119) sont proportionnelles à deux côtés quelconques CD, cd, savoir, 548 LE ses be cd |
4° Soient deux polvsones semblables 4BC.... abc (fig. 119) : si l'on prend deux côtés homu'ogues quelconques £D et ed, et si, de leurs extrémités, on mène les diagonales à tous les autres angles, on | formera des triangles respectivement semblables, EDF à edf, ED A4 à eda, E BD à ebd, etc....; car les angles des polygones sont égaux, et les diagonales homologues sont proportionnelles aux côtés.
9° Lever un plan n’est autre chose que construire des polygones semblables à ceux que forment, sur le terrain , les droites qui joignent des points dont la situation respective est connue. Pour cela, on mesure sur le terrain un nombre suffisant de parties ; puis on décrit ensuite, sur le papier (n° 218....), d’autres triangles semblables à ceux qui composent les polygones dont il s’agit.
243. Si, dans deux polygones semblables (fig. 119), on mène deux droites Gh , gh, placées semblablement, c'est-à-dire coupant les
côtés BC, bc en parties proportionnelles, ainsi que Fe et fe, les lon-
GH BC gueurs GH, gh seront dans les rapports des côtés, où ———
oh be ? "
feront des angles égaux avec ces côtés. En effet , soit pris sur BC et bc : x HGis, 5 CBia. CH
des points Æ et h, tels qu’on ait = TT > et menons
HE, he. Les triangles ÂCE, hce seront semblables (n°219), puisque,
l'angle ÀCE = hce, I s'ensuit que l’angle E HC — ehc et
EH HG. BC eh: het bot
Maintenant , en considérant les polysones semblables 4BHEF , abhef, si les points G et g coupent les côtés FE et fe proportionnellement, la ligne GA jouira de la même propriété que HEÆ. Donc, etc.
244. D'un point quelconque © (fig. 120), pris dans l’intérieur du polygone 4BC...., menons des lignes O4, OB....auxsommets 4BC....; prenons sur ces lignes des longueurs qui leur soient proportionnelles, ou telles qu’on ait TZ # ue A #Les triangles O0 4B, Oab seront semblables, et 4B parallèle à ab. En raisonnant de même pour OBC, Obc, etc., on verra que les polygones 4BC,... abe,... ontles côtés parallèles et proportionnels, et par conséquent sont semblables.
De même, sur les lignes Ob, Oa, si l’on prend des parties OK, Ok proportionnelles aux côtés ae, AE ; puis OF, of proportionnelles à ab, AB, etc., les polygones XFG,...kfq, ...seront semblables, comme formés de triangles. OXT, Oki, OKF, okf,.... respectivement semblables.
245. Les périmètres de polygones semblables sont comme leurs lignes homologues ; car (fig. 118) on a = = = = MES PR et le théorème (n° 73, 3°) donne
