DE

Lorsque l'aire C du cercle est donnée, le rayon

—0,31831, log. 1.50285018.

R= \À/ T=VF0, =

* Observons qu’on aurait été conduit au même résultat, si, raisonnant d’une manière analogue, mais inexacte, on eût négligé les termes « et 2, qui doivent disparaître ensuite : c’est ce qui arrive dans la méthode des infiniment petits, où l'on considère la circonférence comme un polygone régulier d'une infinité de côtés ; car alors € est l'aire de ce

r ® “ D] R La Fr e A polygone, at p le périmètre, et l’on trouve € — HN Ce procédé pourrait donc être re-

gardé comme parfaitement rigoureux, si l’on s'assurait à priori que les termes ainsi négligés sont infiniment petits. Consultez, à ce sujet, les Réflexions sur la Mélaphysique du Calcul infinitésimal, par Carnot.

POLYGONES SEMBLABLES, à 269

Un rectangle qui a pour base la demi-circonférence rectifiée, et pour hauteur le rayon, est égal au cercle ; on à ainsi la solution approchée du fameux problème de la quadrature du cercle. Pour le résoudre rigoureusement, se qui est à peu près inutile, il faudrait trouver la valeur exacte de 7.

261. L’aire du secteur AOBI (fig. 136) est le. produit de la moitié du rayon par l’arc AIB ; en effet on a

AOBI ATB cercle s

circonf.

La longueur de l'arc 4ZB est connue (page 262) : ainsi Secteur = TE he, log h =3.9408478.

l'arc ÆZIB étant le ne de la circonférence, et « son nombre de degrés. :

L’aire du segment 4ZLBI est égale à celle du secteur, moins le triangle 4OBL (n° 364, VIT).

Aux arcs semblables et concentriques 4BD , abd (fig. 168), circonscrivons des portions de polysones réguliers ; le système de ces trapèzes formera une aire dont la limite sera 4DBabd. 11 est aisé d’en conclure que l'aire 4BDabd, comprise entre deux arcs concentriques, est égale au produit de la distance a entre ces arcs, multipliée par la moitié de leur somme , ou par l’arc a’ b'd’ décrit à distance égale de l’un et de l’autre (n° 259).

On peut toujours évaluer, par approximation, une aire curviligne, en la considérant comme un polygone dont les côtés sont fort petits, et la décomposant en triangles ou en trapèzes. Par exemple, tracons dans l'aire a 4Dd (fig. 162) les parallèles équidistantes 4a, il, bB, kK....dD, que nous désignerons par p'p”...., pl), et menons une perpend. quelconque «'d”’ sur Æa : l'aire sera ainsi coupée en trapèzes, dont les aires sont + (p + p”)k,2(p" Lp)k..., k étant la distance de deux parallèles. La somme est a4Dd — k (Cp Hp" Lp.. + + pl); ainsi, Paire curviligne est le produit de la distance k entre les parallèles, par leur somme diminuée de la moitié des deux extrêmes.

Comparaison des Surfaces.

262. Comparons les aires des polygones semblables. 1. Les aires de deux triangles semblables ABC, abc (fig. 137) sont

comme les carrés de leurs côtés homologues. Car la similitude donne

— — Le mais les perpendiculaires BD et bd aux bases 40, ac,

ab forment les triangles semblables 4BD, abd, d'où D = SE

donc — (ce qui est conforme au théorème 243). Multi-

BD pliant les deux membres par go na

= mm 2 met en

IT. Les aires de deux polygones semblables ABCD, abcd, sont comme

les carrés de leurs lignes homologues (fig. 118). Car la similitude