Soit un polygone ABDE' .... (fig. 135) ; menons 4D et

sa parallèle BC, qui rencontre en C le côté ED prolongé; enfin, tirons 4C. Le triangle 4BD peut être remplacé par 4CD, qui lui est équivalent; ainsi l'hexagone 4BDE FG est équivalent au pentagone ACEFG.

En appliquant de nouveau cette construction à ce pentagone , on le changera en un quadrilatère,' puis en un triangle, et enfin , si l’on veut, en un carré. On sait donc réduire tout polygone à un triangle, ou à un carré équivalent.

258. L’aire d’un polygone s'obtient ende décomposant en triangles, et cherchant l'aire de chacun. Si le polygone est régulier, comme ABCD . ... (fig. 112), l’aireest égale au périmètre, multiplié par la moitié du rayon OG du cercle inscrit, qu’on nomme #pothème, Car # étant le nombre des côtés, on prendra # fois l'aire ADR d’un des triangles au centre, savoir,

n X AB X = OG = périmètre X + OG.

259. L’aire du trapèze AHah (fig: 82) est le produit de sa hauteur | par la moitié de la somme de ses bases parallèles, ou par la ligne menée à distance égale de chacune. En effet, menons 4C parallèle à ah,

puis Æ£e par les milieux de 4A et ah; Ee sera parallèle à 7h (n° 220, 4°), Or, l'aire du parallélogramme 4Cha est le produit de

sa hauteur par Ch ou Be : celle du triangle 4HC est le produit de cette même hauteur par + 4C ou E'B ; ainsi, l'aire 4Hah est le produit de la hauteur commune par £e, ou par AC + + AC, ou enfin par £(4a-4 Hh) (voyez, pour l'aire du quadrilatère, n°° 318, V ; et 364, VD).

260. L’aire (fig. 112) du trapèze 4Bba = + Gg X (AB + ab). En multipliant 4B et ab par le nombre des côtés des polygones réguliers ÂBCD ....,abcd...., on obtient leurs périmètres P et p. Ainsi, la différence de leurs aires est — + Ggq (P + p). Comme Gg tend sans cesse vers zéro, lorsqu'on fait croître le nombre des côtés, et que + (P + p) approche de plus en plus de la circonférence, cette différence peut êtrerendue aussi petite qu’on veut. Ainsi, l’aire du cercle est la limite des aires des polygones réquliers inscrits et circonscrits (n° 113).

L’aire C d’un cercle de rayon R est le produit de la moitié du rayon par sa circonférence, où du carré du rayon par le rapport 7 de la circonférence au diamètre. En effet, soient « l'excès de l’aire du polygone circonscrit sur celle du cercle, p la circonf., et B l’excès du périmètre du polygone sur la circonférence ; l'aire de ce polygone, ou C- « est donc (n° 258) —+ À (p +- 8). Comme les variables « et B décroissent indéfiniment *, on comparera les termes constants (n° 113), et l’on aura, à cause de p —27R (n° 248), -

cercle C—?pR= circonf. X <R= 7R.

Soit D le diamètre, on a cercle — ;7D°, ou à peu près