SA SB AB SB SC BC

et comme ces proportions s’enchainent par un rapport commun, on trouve Ta EU —e..ss Sa Sb Sc

La réciproque se démontre aisément.

278. Le polygone abc. ..., qui résulte de la section d’une pyramide par un plan ac parallèle à sa base AG, est semblable à cette base.

AB BÜ,r CD ne Car on a aussi —— — —— ———,,.,;et comme d’ailleurs les ab bc cd côtés des polygones 4BC...., abc.... étant parallèles, les angles A et a, Bet b.... sont égaux (n° 270), on en conelut que ces polygones sont semblablés. Ces polygones sont entre eux comme les carrés des distances au sommet ; car, en menant la perpendiculaire SA sur ABC...,,elle coupera abc... en, etl’onaura rs = RAT — ab abcd....

. AB SB SH (n 262); maIls rl Fa — TS 279, Dans tout angle trièdre S (fig. 154), l’un quelconque des an-

; donc. ...

gles plans est plus petit que la somme des deux autres : il n’y a lieu à démontrer la proposition qu’à l'égard du plus grand angle plan ASE. Prenons donc, dans cette face, l'angle DSE — FSE ; puis menant la droite quelconque ÆB, prenons sur l’arête SF une partie SC — SD. Les triangles DSB, CSB sont égaux, et donnent BD = BC ; et comme BA <° BC + CA, on entire 4D <° AC: Ainsi, les triangles 4SC, 45D ont l'angle 4SD << ASC (n° 173), et par conséquent l'angle

BSA < BSC + CSA.

280. Un angle polyèdre S (fig. 183) a la somme des angles plans: qui le composent moindre que quatre angles droits. En effet, puisque l’angle polyèdre S est convexe, on peut toujours le couper par un plan qui donne une base ABCDE, et forme la pyramide S4D. Des angles de cette base menons les lignes O4, OB, OC.... à un point O intérieur et arbitraire : elle aura autant de triangles qu’il y en a pour former l'angle S; et la somme des angles de ces divers triangles sera de part et d'autre la même.

Cela posé, on a l'angle plan 4BC < ABS —- SBC ; on en doit dire autant des autres angles trièdres C, D....; d’où il suit que la somme des angles du polygone 4BC.... est plus petite que la somme des angles à la base dans les triangles S4B, SBC....; donc la somme des angles plans en S' est, pour compenser, plus petite. que la somme des angles en O.

On ne peut donc former , avec des polygones réquliers égaux, plus de eg polyèdres; car, 1° GE angle de l’hexagone régulier valant + d’un droit (n° 237), ou + 2), trois de ces angles font 4D, et ne Laden être employés à Pan PE un angle polyèdre. A plus forte raison , ne pourrait-on pas employer quatre hexagones réguliers , ou des dia cones etc.

2° On ne peut, avec 4, 5 . . . pentagones réguliers , composer un angle polyèdre, non plus qu'avec 4, 5.... carrés, ou 6,7.... triangles équilatéraux ; car chacun des angles vaut respectivement D, 1D,<D.

3° Ainsi, le corps dont il s’agit ne peut avoir ses angles polyèdres formés que de trois pentagones réguliers, trois carrés , 5, 4, ou 3 triangles (voyez la Géométrie de M. Legendre, app. aux livres Vlet VII : on y démontre qu’on peut en effet former ainsi les polyèdres réguliers à 12, 6, 20, 8 et 4 faces ).

281. Deux angles trièdres S ets (fig. 152 et 154), formés d’angles plans respectivement égaux ESF — esf, ESG = esg , FSG — fsg, ont leurs angles dièdres égaux. Car, si l'on prend deux arêtes égales Sb, sb, et qu’on leur mène les plans BAC, bac perpend., on aura visiblement les triangles rectangles égaux SBC—sbc et SBA—=sba ; d’où SC = sc, SA — sa ; donc le triangle SCA = sca, et par suite le triangle BAC — bac. Ainsi, l'angle 4BC = abc, ou plutôt l’angle dièdre 4BSC — absc. Il en est de même des deux autres angles dièdres.

1° Si les angles plans égaux sont disposés dans le mêmeordre, comme dans les fig. 152 et 154, en appliquant la face asb sur son égale 4SB, sbe se placera sur SBC, sc sur SC, et bea sur BCA : ainsi, Les corps coïncideront.

2° Mais si les angles plans ésaux ne sont pas disposés dans le même ordre (fig. 154), 4SB — A'S'B, ASC — A'S'C' et BSC = B'S"C', alors les angles dièdres sont encore égaux , mais ils ne peuvent plus coïncider. Pour appliquer le triangle 4’B'C’ sur son égal 4BC, il faut renverser le corps S°4'C'B", placer B'C' sur BC, A'B° sur 4B et 4'C’ sur 4C; l’un des corps se trouve situé en dessus de la base ZBC, l’autre est en dessous (fig. 155). Les corps sont alors Symétriques (voy. n° 300) ; car les perpend. SB, S’B sur le plan de la base commune Æ4BC sont égales.

3° Ilest visible qu'on pourra encore faire coïncider les angles trièdres Sets (fig. 152, 154), s'ils ont un angle dièdre égal formé par deux angles plans égaux et semblablement placés.

4e Siles angles polyèdres S et S' (fig. 151) sont formés d’angles dièdres égaux et d’angles plans égaux, chacun à chacun, et disposés dans le méme ordre, ils seront éqaux. Car, menons des plans par l'une des arêtes SB et par toutes les autres, ils formeront les angles trièdres ESAB, ESBD .... Opérons de même sur #’; l'angle dièdre ESAB — E'S'4'B, donne l'angle plan ESB— E"S'P', et l'angle dièdre 4AESB — A'E’S'B, mais, par supposition, l'angle dièdre AESD = A'E'S'D'; retranchant, il vient BÈSD — B'E'SD'. Donc l'angle dièdre BESD — B'E’S'D' : et ainsi des autres.

Surfaces des corps.

282. On nomme Prisme (fig. 157) le corps engendré par le mouvement d'une droite Æa, qui se meut parallèlement, son extré-

mité 4 décrivant un polygone quelconque 4BCDE , et sa longueur Aa restant la même. Si l’4réte Aa est perpend. au plan de la Base ABC...., on dit que le prisme est Droit.

Comme 4a est égale et parallèle à Bb, Ba est un parallélogramme (n° 193); il en est de même de Cb....; donc, toutes les faces latérales d’un prisé sont des parallélogrammes. Une partie quelconque Aw de l’arête Æa engendre aussi des parallélogramines Ba’ Ch'...., de sûrte que le polygone a’h'c".... décrit par le point 4, ayant ses côtés égaux et parallèles à la base 4BC....,ces polygones sont

égaux, et leurs plans sont parallèles (n° 270, 2e). Done, toule section .

faite dans un prisme. par un plan parallèle à la base est égale à cette base : les basés opposées ABC . .,., abc .:..sont donc égales et parallèles. La distance de ces bases est la Jauteur. | 283. L’aire d’un prisme est le produit d’une arête Aa (fig. 158) par le périmètre d’une séction perpend. be’... . 11 est visible que, les deux bases exceptées, l’aire du prisme est la somme des aires des

Le . . . . . . \ ‘ pärallélogrammes qui le composent. Sile prisme est droit, l'aire

est lé produit du contour de sa base par une de ses arêtes. En coupant le prisme Æc par un plan ab'c'.... perpendiculaire à

l’arête a, et plaçant la partie supérieure a’c sous l’inférieure 40,

de sorte qüe abc. coïncide avec 4BC..., le prisme deviendra droit. Donc, etc.

284. Supposons que la base du prisme soit un parallélogramme ABCD (fig. 156); oùtre les faces 4C, ac égales et parallèles, on a encore la face 4b égale et parallèle à De, puisque les côtés des angles a AB, dDC sont égaux et parallèles (n° 270). De même, pour les faces Bc, 4d : c’est ce qui a fait donner le nom de Parallélépipède au prisme dont la base est un parallélogramme, puisque les six faces sont égales et parallèles deux à deux, en sorte que l’on peut prendre l’une quelconque pour base.

Réciproquement, le corps formé de six faces parallèles deux à deux est un paralkélépipède ; car les plans 4C, ac étant parallèles , AB est parallèle à ab (n° 268), 4a l'est à Bb; la face 4b est donc un parallélozgramme : de même pour Bc, 4d....; doncle polyèdre peut être considéré comme engendré par le mouvement de 4a glissant parallèlement sur les côtés de 4BCD.

Un prisme est déterminé lorsque la base 4BC.... (fig. 157) et l’arête génératrice {a sont données de grandeur et de position ;

donc un parallélépipède l’est (fig. 156), lorsqu'on connait l’un de

ses angles trièdrès 4 et les longueurs des arêtés 44, 4B et AD qui le forment: »

Si l’arête Æa est pérpenü, à la base (fig. 166), et si cette base est ün rectangle, le parallélépipède est Rectangle : tous les angles y sont droits ; chaque arête est pérpend., aux plans qui la terminent ; cat oh sait que trois droites 4a, AD et AB étant perpend. entré elles, chacune l’est au plan des deux autres (n° 266) ; sien outre les arêtes sont égales, le prisme est nomimëé Cube.

285. Le plan DdbB (fig. 156) qui passé par deux arêtes oppo“ sées, donne un parallélogratime dont /és diagonales Db, Bd se coupent en deux parties égales (n° 233) ; les quatre diagonales Db, Bd, Ac, Cd se coupent donc au même point O ; car Bd coupe Db en son iilieu ©, et Ac doit aussi couper Db en deux parties évales.

266. Lorsqu'une courbe quelconque 4CDB (fig. 159) tourne autour d'un axe Æ4B, elle engendre une Surface de révolution. Le caractère distinctif de ces surfaces consiste en ce que, quelle que soit la courbe génératrice ACDB, tout plan perpend. à l’ave donne pour intersection une circonférence de cercle. Car la droite DZ, perpend. à 4B, détrira dans son mouvement un plan perpend. à l'axe (n° 266, 2°) ; de plus, le point D conservera toujours la même distance DJ à cet axe. ñ

287. Le Cylindre est un corps engendré par une ligne indéfinie Aa (fig. 160) qui se meut parallèlement en glissant sur une courbe quelconque 4BCD. Nous regarderons ici le cylindre comme teriñiné par deux bases datallèles ABCD , abcd ; la Hauteur est la distance entre les bases.

Inscrivons et circonscrivons des polygones à la base du cylindre : la génératrice, en glissant sur leur contour, décrira deux prismes, dont le cylindre est visiblement la limite *, comme sa basé est la limite de leurs bases, Il est aisé de conclure de là, que

le Toute séction faite dans un cylindre PENSE à la base donné une courbe égale à celle de la base.

2° L’aire d’un cylindre droit Ac (fig. 161) est le produit du périmètre

* Cette proposition repose sur celle-ci, qui est analogue à celle du n° 172, êt que nous régardons comme évidente, d’après l’idée que nous nous formons de l'étendue des aires : l'aire d’une figure plane est moindre que celle de toute surface terminée au même contour; et de deux surfaces convexes terminées à ce contour, la plus grande est celle qui enveloppe l’autre.

de sa base par sa hauteur. En effet, soit C le contour de la base, « l'excès du périmètre du polygone circonscrit sur C, en sorte que ce périmètre = C + x; Aa = H ; enfin, S l'aire du cylindre, et B l'excès de l'aire du prisme circonscrit sur S, on aura SL B— H (C+- à), d'où (n° 118), S— AH X C.

3° Sile Rene est me Ac (fig. 160), la section a'b'c'd’ perpend. à la génératrice forme deux corps 4c’, ca’ qui rapprochés par leurs bases ac et 4C, qu’on fait coïncider, donnent un cylindre droit. Ainsi, l’aire du cylindre oblique est le produit de sa génératrice Aa par le contour d’une section a’b'c'd’ perpend. à 4a.

4° Le rectangle qui a pour hauteur la génératrice d’un cylindre droit, et pour base le contour de sa base rectifiée, est égal à l'aire de ce cylindre. C’est ce que Monge nomme le Développement de cette surface. Lorsque le cylindre est oblique, la section perpend. à l'arète se développe suivant une ligne droite a’d’ (fig. 162) à laquelle toutes les génératrices sont perpend. Si donc on élève en divers points a’, b', c’, d’, des perpend. sur lesquelles on portera en dessus et en dessous des parties a'a, a À, b'b,b'B,.... respectivement égales aux portions de chaque génératrice, tant en dessus qu’en dessous de la section a’b'c'd’ (fig. 160), on aura l’aire aD, terminée par deux courbes parallèles abcd, ABCD, et qui sera le développement de la surface du cylindre.

5° On ne considère dans les éléments de Géométrie que les cylindres dont la base est circulaire : l’ Axe est la droite parallèle à la génératrice et qui passe par le centre de la base. Le Cylindre droit peut donc être regardé comme engendré par la révolution d’un rectangle 4 Ooa qui tourne autour d’un de ses côtés Oo. Toute section faite parallèlement à la base, dans ce corps de révolution, est un cercle (1° et n° 266) égal à cette base. L’aire est S—27R}H ; étant la hauteuret R le rayon de la base (n° 248).

266. L’aire d’une pyramide s'obtient en ajoutant les aires des triangles qui la composent : si la pyramide est régulière, l’aire est le produit du demi-contour de sa base par la perpendiculaire menée du sommet sur un de ses côtés, parce que ces triangles sont égaux, et ont pour hauteur commune cette perpendiculaire qu'on appelle Apothème.

289. On nomme Cône le corps engendré par une droite indéfinie AS (fig. 163) assujettie à passer toujours par un point fixe S, qui est le Sommet, et à glisser sur une courbe donnée quelconque 4BCD.

Cette surface est formée de deux Vappes opposées , réunies en S. Nous ne traiterons ici que du cas où la base est circulaire : l’Axe est la ligne SO menée du sommet S au centre © dela base : la Jauteur est la perpendiculaire menée du sommet sur cette base. Quand cette perpend. se confond avec l’axe, on dit que le cône est Droit (fig. 164); on peut le concevoir engendré par un triangle rectangle ASO qui tourne sur un côté SO de l'angle droit. Toute section parallèle à la base d’un cône droit est un cercle (n° 286).

290. Si l'on inscrit et circonscrit des polygones réguliers au cercle de la base d’un cône droit (fig. 164), en menant des lignes de leurs angles au sommet $, on formera des pyramides régulières, l'une inscrite, l’autre circonscrite au cône, qui sera visiblement leur limite. Il suit de là, que

1° L’aire du cône droit SAC est le produit de la circonf. C de sa base, par la moitié de sa génératrice SA. En effet, soit « l’excès du périmètre du polygone circonserit sur la circonf. €; la pyramide circonscrite a pour aire = À (C<- «), en désignant par .4 l’apothème SA qui est la génératrice. Mais soit S l'aire du cône et B l'excès de celle de la pyramide sur $'; on aura SH 8 —+5A(C +4), d'où (n°1183)$—<4.C;onadoncS—74R, R étant lerayon de la base.

2° Si, avec un rayon SA — la génératrice À, l’on décrit un arc ABD (fig. 168) d’une longueur égale à la circonf. de la base, le secteur 4SD aura la même aire que le cône (n° 261). Ce sera son développement ; les génératrices seront les divers rayons de ce secteur.

3° Le cône tronqué ADda (fig. 165) a pour aire le produit de son côté Aa, par la moitié de la somme des circonf. AG, ac des bases, ou

par la circonfér. ad’ menée à distances égales de ces bases. En effet, les sections ad, a’d’ sont des cercles (n° 286); l'aire du tronc 4Dad est la différence des aires des cônes SD, sad. Si d’un même centre S (fig. 168), avec les rayons S4, sa des génératrices de ces cônes, on décrit des arçs D , ad; qu'on prenne Æ4BD égal à la circonf. 4C de la base inférieure , qu'on mène les rayons S4, SD, l'arc abd sera égal à la circonférence supérieure acd ; car d’une

SA ABD cire. AC û VAS part Re den 2 AL ee PR de l’autre (fig, 165), ce même . ABD cire. AC

rapport S4 = ———— PI Sa abd circ. ac -

suit que les aires des secteurs SABD, Sabd sont équivalentes à celles

; donc abd = circ. ag. Il s’en-

des deux cônes, et que l’aire Aabd DB l’est à celle du rang dont elle est le développement. Donc (n° 261)

cette aire — Aa X a’ b'd'= Aa X + (ad + AD).

291. La Sphère est un corps (fig. 167) engendré par la révolution d’un demi-cercle {DB sur un diamètre 4B. Dans cette révolution , un arc quelconque DF'ou DE engendre une: Zone ; l'arc AD décrit une Calotte ou Zone à une base ; le secteur ÀCD produit le Secteur sphérique ; enfin, le segment 4DG engendre le Segment sphérique.

IL suit de là que la surface de la sphère a tous ses points à égale «

distance du centre C, et que si l’on fait tourner le cercle générateur

ADE BG autour d’un autre diamètre quelconque DA, il produira la même sphère. Par conséquent, tout plan qui passe par le centre M coupe la sphère suivant le cercle générateur qu'on nommeun Grand …

cercle de la sphère.

Un plan quelconque coupe la sphère suivant un cercle ; car, soit DG ce plan ; menant le diamètre 4B perpend., on peut supposer que la sphère a été engendrée autour de cet 4xe de révolution (n° 266). Le diamètre du cercle est la corde DG ; c'est pour cela qu'on nomme Petits cercles de la sphère ceux dont le plan ne passe pas par le centre. La base d'un segment sphérique est un petit cercle.

292. Le plan qui n’a qu'un point commun avee la sphère s’ap- « pelle Tangent : toute droite menée du centre C (fig. 167) à ce plan, « étant plus longue que le rayon C4 mené au point de contact, puisqu’elle ne peut atteindre ce plan qu’en sortant de la sphère ; ce «

rayon est donc perpendiculaire au plan tangent (n° 266, 4°). Rée:iproquement, si la ligne C4 est la plus courte ligne qu’on puisse mener du centre à un plan, ce plan n'aura que le point 4 commun

avec la sphère et lui sera tangent, puisque toute autre ligne menée »

du centre C étant > C4, devra sortir de la sphère. Faisons tourner une tangente quelconque AT, ainsi que le cercle

ADB, autour du diamètre 4B, AT engendrera le plan tangent à“

la sphère.