CORPS SEMBLABLES

ABC, abe sont parallèles, et les angles dièdres homologues sont égaux (n° 270). On voit donc

1° Qu’un tétraèdre S4BC coupé par un plan abc parallèle à l’une de ses faces ABC, forme un tétraèdre semblable au premier ;

2° Que les faces 4BC, abc sont semblables, puisque le plan abc est parallèle à BC (n°° 277, 270);

3° De même pour SBC, sbc.

Féciproquement, si les arêtes homologues de deux tétraèdres sont proportionnelles, ou si les quatre triangles sont respectivement semblables (l’une des conditions emporte l’autre), les angles plans en S et S” étant égaux, les angles dièdres le sont aussi (n° 261); donc les tétraèdres sont semblables.

295. Deux polyèdres sont dits semblables, lorsqu’en menant de deux angles solides homologues des diagonales à tous les autres angles, les corps sont décomposés en tétraèdres semblables et disposés dans le même ordre.

Toute p yramide SAC (fig. 151) coupée par un plan ac parallèle à sa base, donne une autre pyramide Sac semblable à SAC, leurs arêtes sont proportionnelles, les angles dièdres et polyèdres respectifs sont égaux. En effet, les tétraèdres S4BE, sabe semblables, donnent les triangles SEÆB, seb semblables, et l'angle dièdre 4SEB — aSeb ; mais comme l'angle dièdre 4SED — aS$ed, en retranchant, on trouve que l'angle dièdre BESD = beSd. Donc les tétraèdres SBED, sbed sont semblables, etc. (n°° 277, 281).

Réciproquement, les pyramides S'A’B'C'...., SABC...., formées de faces semblables et disposées dans le mème ordre sont semblables ; car les angles trièdres qui composent les bases étant formés d’angles plans égaux, sont égaux ; donc les angles dièdres homologues le sont aussi (n°281). D'ailleurs, les angles plans égaux en S'et S’permettent de faire coïncider $’4'D' en Sad. Enfin, les arêtes étant proportionnelles par supposition, les plans 4D, ad sont parallèles.

296. Soient la pyramide SAC (fig. 151) et le corps S°4’C’ formé de tétraèdres S'ÆB'E", S'E'B'D', S'B'C'D' semblables à S4BE, SEBD....;le polyèdre S'4’C’ sera une pyramide semblable à SC; car, ni les angles 4E£B, BED, AËD sont dans un nb r plan et égaux à 4'E'B, B'E'D', A'E'D’,

on à AED = AEB + BED, d'ou A'E'D' — A'E'B' + B'E'D':

MATHÉM, PURES. T, I. 19

ce qui prouve que ces derniers angles sont aussi dans le même plan, puisque, s’ils formaient un angle trièdre, on aurait (n° 279) A'E'D' < A'E'B' + B'E'D'.On voit que ce plan passe aussi par B'C'D'.

11 suit de là que, 1° deux polyèdres semblables sont décomposés en pyramides semblables par les plans qui passent suivant les diagonales menées de deux angles polyèdres homologues à tous les autres.

20 Si d’un point intérieur quelconque, on mène des lignes à tous les angles, et qu’on les prolonge proportionnellement à leur longueur, les plans menés par les extrémités de ces lignes seront parallèles aux faces du polyèdre proposé, et en formeront un autre qui lui sera semblable. On trouve ici l'analogue du théorème 244.

297. Deux polyèdres semblables «ont leurs faces semblables, leurs arêtes homologues proportionnelles, leurs angles dièdres égaux, ainsi que leurs angles polyèdres. Pour s'en convaincre, il suflit de mener, de deux angles homologues (fig. 172), les diagonales qui décomposent les corps en pyramides semblables ; les angles polyèdres et dièdres de ces pyramides seront égaux, leurs faces seront semblables : or les faces des polyèdres servent de bases à ces pyramides, dont les angles dièdres et polyèdres constituent, par leur système, ceux des corps proposés.

Réciproquement, si deux polyèdres ont les faces semblables et disposées dans le même ordre ; et les angles dièdres égaux, ils sont semblables ; car les angles polyèdres sont égaux, comme décomposables en angles trièdres égaux (n° 281). Faisons donc coïncider l’un de ces angles polyèdres avec son homologue, les autres faces seront respectivement parallèles. De plus, la similitude des faces donne les lignes homologues proportionnelles ; leurs aires sont donc entre elles comme les carrés de ces lignes; ce qui prouve que les diagonales de l’un des corps sont le prolongement de celles de l'autre (n° 278) : ces corps sont donc formés de pyramides semblables.

298. Des lignes qui joignent quatre angles polyèdres homologues ABCD, abcd (fig. 172) de deux corps semblables étant proportionnelles, forment des tétraèdres semblables (n° 294). Il en résulte que si des angles 4BC, abc de triangles homologues, on mène des lignes à tous les angles DEF...., def.... de deux polyèdres semblables, les tétraèdres ainsi formés seront semblables ; ceci est analogue au n° 242, 4°. r

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