CORPS SEMBLABLES
Réciproquement, deux polyèdres sont semblables, lorsque leurs angles étant joints aux trois angles homologues 4BC, abc, les tétraèdres ainsi formés sont respectivement semblables. En effet, si les tétraèdres D ABC, dabe sont semblables, ainsi que Æ ABC, eabc, les angles dièdres DACB, E ACB seront éganx à dacb, each : ainsi l'angle dièdre DACE — dace. D'ailleurs, les faces DAC, dac de nos tétraèdres sont semblables ainsi que Æ 4C, eac : donc les tétraèdres
AC
DE ƣ ACD, eacd sont semblables, et on a Pere. (no 294).
Soient F, f, 1, i des angles homologues ; on aura de même FE AC°..DF CMS — =— et —— —— : ainsi, les corps ont leurs lignes homolofe ac df ac ô ques proportionnelles, et les triangles DFE, dfe homoloques sont semblables : de plus, leurs angles dièdres sont éqaux, puisque ZDF est semblable à idf, FE à ife, d'où l'angle ZFD — ifd, IFE = ife, DFE — dfe. En outre, si les points DZFE sont dans le même plan, l'équation ZFE — IFD +- DFE se change en fe = ifd + dfe : d’où il suit que les points e, f, à étant aussi dans un même plan, les faces des polyèdres sont semblables : enfin, les angles polyèdres sont égaux, comme composés d’angles trièdres égaux (281, 4°). Ainsi les corps sont semblables (n° 297).
299. Lorsque deux polyèdres sont semblables, les aires de leurs faces sont comme les carrés des lignes homologues de ces polyèdres ; mais comme ces lignes sont proportionnelles, on a une suite de rapports égaux, formés par les faces homologues, d’où l’on conclut (comme n° 262, II) que les aires totales des polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés de leurs arêtes homologues.
On verra aisément que les surfaces de cônes ou de cylindres semblables, c'est-à-dire engendrées par deux triangles ou deux rectangles semblables, sont entre elles comme les carrés de leurs génératrices. En effet, les circonférences C et c des bases sont proportionnelles aux génératrices 4 et a; les aires S et s le sont à
CX Aetc X a (nes 267, 5°, et 290, 1°),
De même, Les aires des sphères sont comme les carrés de leurs
rayons, puisqu'elles valent quatre grands cercles. 19°
300. Lorsque deux polyèdres sont tels, qu'on peut les placer l’un en dessus, l’autre en dessous d’un plan AN (fig. 173), de sorte que les sommets des angles polyèdres 4, a, B, b.... soient, deux à deux, à égale distance de ce plan, et sur une perpendiculaire Aa, Bb....,à ce plan, ces deux polyèdres sont appelés Symétriques. B étant un angle polyèdre du premier corps, en menant BOb perpendiculaire au plan ZW, et prenant OB = Qb, b sera l'angle homologue du second polyèdre,
Les polyèdres symétriques ont.toutes les parties constituantes égales. Pour le prouver, plions le trapèze 4BPQ suivant PO, les lignes AP, aP égales et perpend. sur HN coïncideront, ainsi que BOQ et Bq; d’où 4B = ab : donc les lignes homoloques sont égales. D, d, C, c étant des angles polyèdres symétriques, on aura BC — bc, AC— ac; ainsi, le triangle 4BC — abc; les triangles homoloques sont donc égaux. De plus, le triangle 4DC = ade, BDC — bde : ainsi l'angle DCB = deb, ACD = acd, ACB — acb. Or,
1° Siles plans de ces triangles forment en C et e des angles trièdres, ils seront égaux : donc les angles dièdres et trièdres homologues
sont égaux. Îl en est de même des angles polyèdres, puisqu'ils sont -
formés d’angles trièdres égaux disposés dans le même ordre.
2° Si les points 4 BCD sont dans le même plan, comme l’angle DCB — ACD + ACB, on à dcb = acd + acb ; d’où il suit que les points abcd sont aussi dans le même plan (n° 279), donc /es faces homologues sont égales, comme formées de triangles égaux seinblablement placés. |
301. Tout parallélépipède AGc (fig. 174) ést formé de deux prismes triangulaires symétriques ABd, BCd; les angles dièdres opposés sont égaux, et les angles trièdres opposés sont symétriques. En effet, les deux corps 4abd, Ccbd sont visiblement des prismes (n° 282); la base BDC ou bdc de l’un sera égale à 4BD. Rapprochons ces prismes triangulaires, en faisant coïncider bde avec BD, savoir be avec AD, et de avec AB ; Cchd prendra la situation 4£Æ HI. Or, les perpend. aF, Cf sur les bases sont égales (n° 268), 2° on a de plus Aa —= Cc et l'angle 4aF = cCf; ainsi, le triangle 4aF — CcF, d'où 4F = cf. Par une raison semblable, fb — DF ; ainsi les triangles égaux ÆDF, bof coïncident, et le point f tombant en #7, fC se porte en FE sur le prolongement FE de af. Donc le sommet Æ ou C'est symétrique de a : on verra de même que Z, ou B, l'est de d; et À ou D, l'est de b.
