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on en déduit enfin le nombre + donné p. 261.
Constructions géométriques.
321. L'art de résoudre les problèmes de Géométrie consiste, comme on a pu le remarquer (n° 212, 229...), à les supposer résolus, à rapprocher les propriétés de la figure de celles qu’on connaît et qui sont analogues ; à trouver ainsi la loi à laquelle les parties du système sont soumises , et à en conclure les inconnues. Ces procédés exigent beaucoup d'exercice et d'adresse, et l’on ne peut donner de règles générales pour ces combinaisons. L'emploi de l’Algèbre, lorsque le choix des inconnues est fait avec adresse, conduit souvent à des solutions plus élégantes ; on sait mieux reconnaître leur nombre, et l’on juge facilement si le problème est possible ou non, déterminé ou indéteriminé.
Concevons qu'après avoir résolu un problème de Géométrie, on ait construit la figure qui en règle les parties, qu’on ait désigné par des lettres les longueurs des diverses lignes qui la composent , et qu’en faisant usage des prineipes connus, on les ait liées par des équ.; le calcul conduira bientôt à la valeur des inconnues. Cela posé, si toutes les lignes de la figure sont exprimées par dts noim-
bres , l’Arithmétique donnera numériquement ces dernières. Mais il est remarquable qu'on pent assigner ces longnenrs cherchées, même sans le secours des nombres, à l’aide de procédés géométriques, qui auront d'autant plus d'élégance, qu’ils rendront la figure moins confuse. C’est ce qu’on appelle construire la valeur de l’inconnue. 322, Remarquons, avant tout, que le calcul dont il vient d’être question ne peut avoir pour éléments que des rapports de lignes ; en sorte que la ligne À ne peut y être introduite qu’en ayant égard à son rapport avec une autre ligne B, qu'on peut prendre pour unité (n° 175). Alors & représente un nombre abstrait, auquel on peut substituer celui de deux autres grandeurs quelconques a et b,
A a pourvu qu’on ait BTE Il n'entre tas dans les calculs, que des expressions telles que a lv D? d’ ..
binaisons de ces éléments par voie de multiplication, division, ré-
Or, il suit des règles mêmes du calcul, que toutes com-
duction au même dénominateur, etc. , doit conduire à un résultat homogène, c’est-à-dire, dont les termes renferment tous le même nombre de facteurs. Ainsi, les lettres a, b, c.... qui entrent dans une formule, peuvent y désigner des lignes au lieu de nombres , et les termes doivent être homogènes : s’il n’en est pas ainsi, quelqu’une de ces lignes , telles que r, a dû être prise pour l'unité, qui n’est d’ailleurs qu'une longueur arbitraire et connue (n° 36). Dans ce cas, on peut rétablir le facteur 7 partout où ïl a dù disparaitre, lorsqu'on a posé r — 1, c’est-à-dire , introduire r et des puissances convenables de r dans les divers termes, afin qu’ils redeviennent homogènes. Pour que les quantités
2añc + ab — d a — b es PU CT 0 ONE EN BP-TA V'{ 2 ):
représentent des lignes, elles doivent revenir à 2añc + ab%r — dri (a — br’ rar D a$r — cri k 2 L ab” ( 2 ):
= En effet, par exemple, x — V (—") , en faisant évanouir le
radical, devient 2+° = 1 +4, qui, en restituant des puissances
convenables de r, devient 22? — r? + ar. Mise sous cette forme, on peut prendre dans LÉARTIeN pour unité tout autre e signe que r, et même une longueur qui n’y entre pas.
Lorsqu'une formule sera homogène, nous en évaluerons le degré par le nombre des facteurs de l’un de ses termes, si elle est entière ; on retranchera le degré du dénominateur de celui du numérateur, si elle est fractionnaire ; enfin , on divisera le degré de la fraction par l’ordre du radical qui l’affecte , si elle est irrationnelle. Concluons de là qu’en général, pour qu’une fraction représente une ligne, c’est-à-dire soit linéaire, il faut que chaque terme du numérateur ait un facteur de plus que dans le dénominateur ; et s’il entre un radical, il doit affecter une quantité de même degré que lui : le radical carré précédera une fraction du second degré, etc.; les formules de première dimension, c'est-à-dire du 1°" degré, sont constructibles par une ligne ; celles de seconde dimension par une aire ; enfin celles de troisième dimension représentent un volume : et si elles ne sont pas homogènes, on les rend telles en distribuant des puissances convenables de la ligne r qui y a été prise pour unité.
