RÉSOLUTION DES TRIANGLES
sommet B', on connaïtra B’Cet l'angle ACB', qu’on peut mesurer sans voir le pied 4, attendu que la droite 4C est horizontale. On obtiendra donc 4B" et AC.
Comme il faut être exercé aux applications des formules de la * résolution des triangles, nous donnerons ici les valeurs des côtés et des angles de triangles, auxquels on pourra appliquer ces équations. On prend pour données les parties élémentaires qu'on veut; les autres seront les inconnues que le calcul doit faire trouver. En variant les éléments donnés, on se proposera divers problèmes qui seront résolus par les formules qu’on a exposées, et ce seront autant d'exercices utiles de ces sortes de calculs.
Triangle rectangle d’épreuve.
a = 56m,925 b = 45,540 c — 54m,154 En) 12963080, + . 2.658390, 47. 1.5334543 A: 900 B — 5307/48//,4 C'== 9002 1170 log sin B — 9.9030900, cos B— 9.7781512, tang B —0,.1249589 Triangle obliquangle d’épreuve.
Côtés. Logarithmes, log p = 12:0357 409 a —=-57m,110, log = 1.7617024, log (p—a) — 1.7059406 b = 71 ,517; log = 1.8647735, log (p—b) = 1.5682252 C: == 677 St, log — 1,9435489, log (p—c) = 1.3175947 Angles. Log sin. Log cos. Log tang.
2 Étant donnés deux côtés c, a, et un angle À opposé à l’un d’eux, l'équ. (4) donne sin C — ous Or, la valeur de sin C répond à deux angles C supplémentaires, et l'on a deux solutions (les triangles ABC, fig. 193 et 190).
Il ést vrai qu'une seule est souvent admissible, ainsi qu'on l’a vu (n° 207) ; mais de lui-même, le caleul conduit à reconnaître ce cas, sans y avoir égard spécialement; on forme la somme 4 + C, pour les deux valeurs de C, que donne le calcul, dans le but d’entirer l’angle supplémentaire B, Or, |
Si À est obtus, on ne peut adopter la valeur de C > 90e, puisque 4 + C serait > 180. Il n’y a done qu'une solution ; encore faudrait-il que a fût > c, puisque si lon avait a Ce, notre équ,
donnerait sin 4 < sin C, d’où l'angle aigu supplément de 4 moindre que l'angle aigu C, savoir, 180° — 4 << C, et par conséquent 4 + CS 180°. Ainsi l’absurdité serait mise en évidence.
Si À est aigu ,et qu'on aita—ou > c, notre équ. donne sin C(— ou < sin À ; ainsi le calcul conduira à une valeur de l’angle aigu C < A, donc le supplément 180° — C ne saurait convenir ici, puisqu’en ajoutant 4, la somme est 1800 L 4 — C © 180c. Ainsi le problème a toujours une solution, et une seule.
Enfin, si À est aigu, et que a soit < c, tirons du triangle
c sin 4 + ; d'où
rectangle ABD la perpendiculaire BD = p —
sit Ci . Or, sia < p,ona sin C > À, ce qui est absurde ;
sia—p,onasin C — R, C— 90°; le triangle rectangle BDA convient seul ; enfin , quand « > p, on se trouve dans /e seul cas qui admette les deux solutions.
Tout cela s'accorde avec ce qu’on connait (n° 207, fig. 64). Voici le tableau des divers cas :
A—=ou > 900, une seule solution, B et C sont aigus, a > c; a < csin 4, problème impossible ;
Si A Va —csin A, un seul triangle rectangle, B et À sont aigus; Ur in À et triangle, C est aigu ; avec tie >csin Aet > c, un seul triangle, C est aigu;
a > csin et € c, deux solutions, € a deux valeurs supplémentaires.
8° Étant donnés deux côtés b et c, et l'angle compris A ; en faisant n — = (C— B), la formule NW (n° 360) devient
c— b x ST Ar PE PE 0e. D UT
équ. qui fait connaître l'angle n <[ 90°; or, 4 + BEL C— 180, donne + (C +- B)— 90° — + 4, valeur connue que nous représenterons par M; ainsi nous aurons
(CH B)=m, =(C—B)—=n; . . ,. (6) d'oùC—m}n"n, B— m— n. Il ne restera plus qu’à trouver le :
côté a par le procédé ci-dessus, 1°.
C 72 . e à On peut encore poser tang 9 — 7? équation qui donnera l’are
auxiliaire o; or, par l’équ. (2), p. 334,
RÉSOLUTION DES TRIANGLES. 54 Donc l’éq. N donne
ai
tang + (C — B)— tang (9 — 45°). cot = 4.
Ge mode de solution est utile lorsque les côtés b et c, au lieu d’être connus en nombres, sont des expressions monomes composées, ou données par les log. debet c.
On peut déterminer directement ce côté a sans chercher préalablement les angles, et le faire servir, au contraire, à trouver ceux-ci. En effet, reprenons la formule D, ajoutons et soustrayons 2bc, puis
mettons pour 1 — cos 4 sa valeur 2 sin° + 4 (n° 358, 1); il vient bc sin? :
—(b— cÿ + De (1 — cos À) = (b — c} fi +R)
Cela posé, on cherchera l'angle © qui a a pour carré
de sa tangente, ce qui est toujours possible, puisqu'il y a des tangentes de toutes les grandeurs : la valeur de a deviendra (b — e)y/ (1 + tang?’#), ou (b— c) sée #, ou enfin , en rendant la formule propre au cas où le rayon est À,
di et, tang 9 = MEL Y/ (bo) FUI -€7)
Le calcul logarithmique pourra aisément s'appliquer : on aura
d'abord tango, et par suite cos #, puis a. Voici un exemple auquel
nous appliquerons ces deux procédés, Soient c — 87,812 mètres,
b — 71,577 mètres, 4 — 40° 56; d’où c + b — 159,389 et c — b — 16,235.
Premier procédé. Deuxième procédé.
coti 4... 10.4280331 C ... 1.9435539 (c—b)... 1.21045923 b ... 1.8547735 (C+ b) Pirée. .—2,2024585 . be PE < 3.198327 4 4 1 1 ON anne Foi moitié . . . 1.8991637 ue 2... 0.3010300 > sin + À ... 9.5436489 min —= 8448—C (C— b) . . .—1.2104523 PR =" 010 D tange . . . 10.5533903 C0 — 1.9435539 g +. + 13040/43/ sin À . . . 9.8163609 R(c—b 3 11.2104523 sin C.. .—9.9982089 an LE 9 4487449 a... 1.7617059 |
Donc a = 57,770.
S'il arrive que b diffère beaucoup de €, l’are + est très-petit, et
cos # presque — 1 ; le calcul n’a plus alors assez de précision *. Mais cos 4 — 2 cos + 4 — 1 change l’éq. D en
4bc cos? + <)
— (Bo — Abe oû4 À = Go} (1 TES
Cette dernière fraction est < 1, puisque sans cela & serait imaginaire ; on peut donc en supposer la racine égale au sinus d'un arc y, SAVOÏr :
2 cos =
SIN 9 = ——— DE Ets À y ), a=—(b Loc) cosy.
40 Étant donnés trois côtés. Pour obtenir l'un des angles, tel que 41, il faut encore recourir à l'équ. D
b? da c— «
COS À — She
Or, cette expression présente le même inconvénient que dans le cas précédent , parce qu’elle ne se prête pas au calcul logarithmique. Mais si l'on met pour cos À cette valeur dans sin’ = 4 —:(1—cos 4), on trouve |
Pre, a — (b — c}°
sin a A —— dt 267 act
et comme le numérat. est la différence de deux carrés (n° 97, III), il vient, en rétablissant le rayon RÀ,
sin 242 A) CRE. dr st Abc |
Cette équation remplit déjà le but proposé; mais elle devient encore plus simple en représentant le périmètre du triangle par 2p = a + b + c; car on obtient (p. 295)
sin 42 / EE | OMS be
* I ne faut jamais employer de cos ni de cot d'arcs très-petits, ou voisins de 180°; non plus que de sin et tang d’ares voisins de 90° ou 270°; parce qu’alors ces lignes changent très-peu pour de petites variations de l’arc. C'est ce qu'on voit d’après les tables de log. Pour que le calcul fût exact, il faudrait done que les log. fussent approchés à un plus grand nombre de décimales.
En se servant de l’équ. cos 4 =: (1 + cos 4), on trouve de
. même, cos 2 A—= R VE bc
On emploie celle de ces deux équ. qu’on veut , à moins que 2 À ne soit très-petit ou voisin de 90° (voyez la note précédente). . + À doit être <7 90°, et la question n’a qu'une solution (n° 350). Voy. page 226. (
Soient , par ex., c — 103,357 mètres, b — 106,836 mètres, et a=—= 142,985 mèt.; d'où 2p—353,178 mèt.,etp—b—69,753 mèt., p—c— 173,232 mèt.,p — a —= 33,604 mèt. Donc,
p—b... 1.8435629 p—aæ... 1.5263910
