Cherchons l’équ. d'une droite quelconque

1° Si elle passe par l’origine, telle que ZAN (fig. 212) ; de quelque point D, N...., qu’on abaisse les ordonnées DC, PN...., on aura toujours = à 2Kage .... Soit donc, a le rapport constant de

AC AP ; chaque abscisse à son ordonnée, l'équ. de la droite 4N est

y — AT.

Lorsque les coordonnées sont rectangulaires, dans l’un queleonque de ces triangles, on a (n° 354), PN = AP tang 4. On voit que a désigne la tangente de l’angle que la droite fait avec l’axe des x. Plus l'angle NAP croît, plus « augmente; si la droite, telle que

MATHÉM, PURES, T, 1. . 25

AN, fait un angle obtus avec les x positifs, a devient négatif, et l'équ. prend la forme y — — ax; ici a est la tangente de l'angle N'AËE, On voit en effet qu’alors les abscisses positives répondent à des ordonnées négatives, et réciproquement.

Mais si l'angle y4x n'est pas droit, le triangle NA4P donne : Les des De id donc alors, a est le rapport des sinus des angles que la droite fait avec les x et les y : rapport qui doit être affecté du signe — , quand la droite est située comme 4’.

2° Sila droite, telle que BA, ne passe pas par l’origine, en faisant AB = b — l’ordonnée à l’origine, et menant ZN parallèle à BH, l'ordonnée PM, on y, se compose de MN — b et de PN — ax; donc on a

y = ax + b; b serait négatif, si la droite était telle que BH.

368. Les quantités + et y, qui entrent dans l’équ. d’une droite, sont appelées Variables; a et b sont des Constantes ; mais on sent que a et b pourraient varier eux-mêmes, et c’est ce qui arrive lorsqu’on fait prendre à la droite BM une autre position. y = ax + b appartient à toutes les droites, qui se distinguent entre elles par les valeurs de a et b.

L'équ. la plus générale du 1* degré, 4y + Bx + C—0, équi-

B lié. | vaut Ay= — 2 — > qu'on peut écrire y = ax - b. Prenons AB — b (fig. 212), et menons BM de sorte que a = tang BE A, mt selon que les coordonnées sont ou ne sont pas sin ANP?.

rectangles ; la ligne BM aura y — ax — b pour équ. ; on voit donc que toute équ. du. 1° degré appartient à une droite qu’on sait décrire. On peut aussi la tracer en déterminant deux de ses points. Puisqu'en B l’abscisse est nulle, en faisant x — 0, on doit trouver l’ordonnée à l’origine; de même, y — 0 donne le point E où la ligne coupe l’axe des x. Ceci est général, quelle que soit la ligne, droite ou courbe. On peut donc se servir de ce théorème pour tracer facilement la droite. x — 0 donney — b— 4B; de même, y= 0 donne Z = — 2 — AE, Par les points Æ et B, ainsi déterminés, on

inènera Æ£B qui sera la ligne cherchée.

Cependant si la ligne passait par l’origine, ou y = ax, ce procédé ne donnerait que ce seul point ; mais on ferait #4 = 1 = CA, et on en conclurait y — à == CD. Il sera bon de s'exercer à décrire les droites qui répondent à des équ. données, telles que 2y + x = 2, y=—3<+x,y — — x — 1, etc...., afin de reconnaitre la disposition d’une droite, d’après l'équ. qui lui appartient.

8369. Trouver l’équ. d’une droite qui passe par deux points donnés. Soient (x’, y’) le 1er point, et (x”, y”) le 2° point; l’équ. de la ligne est y — ax + b, a et b sont inconnus ; or, puisque la droite passe par le point (z’, y’), si l’on faitæ — + on devra trouver y = y'; partant

y = ax +- b devient y — ax + b; retranchant , pour éliminer b, on trouve

y—Yy = a(x — x) , . . , . (1)

C'est l’équ. qui appartient à toutes les droites qui passent par le point (+’, y), et qui ne sont distinguées entre elles que par la valeur de a, c’est-à-dire par leur direction.

Mais si notre droite passe aussi par le point (x”, y”); on trouve de même y” — y —= a (x" — x'), d’où l’on tire

r! ’ ïj a T5 et vr Yi TG — x).

370. Trouver l’angle que forment deux droites entre elles, ces droites étant données par leurs équ. y = ax + b, y = ax +. Soient BC la 1re (fig. 2138), « l'angle B qu’elle faitavec 4x; DC la 2°, x l'angle qu’elle, ou sa parallèle BE, fait avec Ar, E Br — x ; ainsi, 4 = tang 4, & — tang x’; l'angle cherché est VW = à — x.

Or, on a (359)

tang à — tang «x a— a

1 + tang a tang « dd di Si a = à’, les deux droites sont parallèles, puisque Ÿ = 0, ce qui est d’ailleurs visible. Si aa’ + 1 = 0, tang Ÿ = © , ainsi l’angle W est droit : donc la condition , pour que deux droites soient parallèles ou perpendiculaires, est

tang Ÿ — . (2

a—=œa . ,. . (8), ou a H1—0. . . (1) 23*

371. Par un point donné, mener une droite qui soit parallèle ou pérpendiculaire à une autre droite, ou qui fasse avec elle un angle connu. Soient y —= ax + b l'équ. de la droite donnée, y— «xD celle de la droite inconnue ; il faut déterminer 4’ et b'. D'abord, puisque celle-ci passe par le point donné (+, y) on a l'équation y—Yy —=@ (x — x); il reste à trouver à.

1° Si la droite est parallèle à la 1°, on a a — a’; l'équ.(l) est celle qu'on demande.

2° Si elle doit être perpendiculaire, aa + 1 = 0 ; d’où

1 , 1 : | a D Eue Denute 72 CA Qu SU) . +: : 160(b)

3° Si les droites font entre elles un angle Ÿ dont la tang. soit donnée = m, on fâit »# = tang W, dans l’équ. (2), et l’on a

a — m GE

Sr LR D ME M

Par ex., sim— 1, on a l’équ. d’une droite inclinée de 45° sur la proposée,

372. Trouver le point de rencontre de deux droites données. Soient y — ax + b, y —= ax + b' leurs équ. L’x peut bien être le même pour ces lignes dans toute leur étendue ; mais l’y diffère. Le point où elles se coupent est le seul pour lequel x et y soient les mêmes. Si donc on élimine ces variables, on-aura les coordonnées du point

| P de rencontre : ce calcul est facile ; il donne D — b ab’ — a’b

aa Pr ET,

En général , si l’on élimine x et y entre les équ. de deux lignes courbes, on obtiendra les coordonnées de leurs points d’intersection : c'est même pour cela qu’en faisant y —0, ou x — 0, on trouve les points où la ligne coupe les axes des x ou des y, car ces équ. sont cellès de ces axes.

373. Trouver la distance entre deux points donnés. Soient (+, y’), (x”, y”) ces deux points situés en Met N(fig. 214), menons MR parallèleà 4x, et le triangle renlan ge NMR donnera MN°= MR? RN: : or, On a

NR=NO-—MP= y — y, MR= 40 — AP =x — x; ainsi, la distance cherchée MN — d'est

d == VU" —=xy he (WT) ane IN fe AO

La distance 4M du point M à l'origine est d = J/ (x? + y).

Si les deux points devaient être situés sur une droite BN donnée par son équ. y = ax + b, x’, y, x”, y! devraient satisfaire à cette équation, d'oùy = ax — b, y = ax" + b, et par conséquent

374. Trouver la distance d’un point à une ligne donnée. Soient y = ax “> b l'equ. de la droite BC (fig. 218), M ou M' (x, y) le point. Il faut 1° abaiïsser la perpendiculaire MM’ sur BC ; 2 chercher le point NW de rencontre de ces lignes ; 3° mesurer la distance MN ou MN—9%. Pratiquons ces opérations en analyse. 1° L’équ. de la droite indéfinie MM’ qui passe par le point (+', y’), et qui est perpend. à BC, est (5), n° 371 ; 2 on éliminera x et y entre les équ. des deux droites, et on aura les coordonnées du point 4 d’intersection ; 3° enfin, on mettra ces valeurs pour +”, y’, dans la formule (7).

Mais puisqu'on cherche + — x’ et y — y’, le calcul se simplifie en préparant ainsi l’équ. y = ax — b :

PA , / 4 , 1 , y 0 SERBE of Eye ge 4 er à (6 nd) ;

a (y — ax — b) dd :

Large FRS TE

d’où x — x’ —

somme des carrés de ces quantités est () (1 + a), y — ax — b VA+a) *

pour la distance cherchée, ou la longueur MN ou M'N de la per pendiculaire *,

donc on a d'—

* V (1 + a) comporte H; mais il faut préférer le signe qui rend ? positif (n° 108). Or, l'ordonnée du point R ou R'de BC, qui a x! pour abscisse étant y = ax'+-b, suivant que le point donné sera en M ou en M', c.-à-d., en dessus ou en dessous de la ligne, on

ax! +6 — y aura y! > ou € ax'+- b: donc, dans le 2e cas, on prendra j = - Va+ra) Œ mn .

375. En général, les problèmes (oatis 2 à la ligne droite sont de deux sortes :

1° Ou, une droite étant donnée, on cherche celui de ses points (æ’, y’) qui satisfait à une condition exigée. a et b sont connus dans y = ax + b; de plus, la condition à laquelle le point doit satisfaire étant traduite algébriquement, on a une seconde relation entre z', et y’. L’élimination fait donc connaître ces coordonnées. On pourrait avoir plusieurs droites et plusieurs conditions données; mais les choses auraient encore lieu d’une manière analogue.

2° Ou l’on cherche une droite qui satisfasse, par sa position , à de certaines conditions; alors a et b sont inconnus dans y — ax =+ et le problème consiste à les détérminer, Or, les conditions données, traduites en analyse, conduiront à des équ. qui feront connaître & et b; elles ne pourront êtré qu’au nombre de deux, à moins qu’elles ne comportent elles-mêmes de nouvelles inconnues.

376. Voici plusieurs exemples où ces principes sont appliqués : . LT. Partager èn deux parties égales l’angle que forment entre elles * deux droites données AB, AC (fig. 216). Traçons deux axes rectangulaires 4x, 4y, par le point 4 de concours des lignes ; leurs équ. sont y = ax, y —= bx, a et b étant donnés. Soit y — kx celle de la droite cherchée 4D ; il s’agit de trouver à

L'angle DA4B a pour tangente ———— (n° 371); celle de l'angle

a — k ki -p 1 DAC et À SR PS 1 d’où e 2@D 1), 1-19),

On tire de là la valeur de k, et on la substitue dans y — £x. Comme il y a deux racines réelles, 4’ et £”, le dernier terme — 1 est leur produit, ou #4” L 1 — 0; ee qui apprend que les deux lignes 4D, AË, ainsi obtenues, sont à angle droit (n° 370). |

Si les axes ne passaient pas par l’origine 4, l’équ,. cherchée serait y —y — k (x — x’), k ayant la valeur ci-dessus, et +’, y’ étant les coordonnées du point de concours.

Quand l’une des droites 4€ est l'axe des x, b— 0, et on à sim-

plement #4 a — li.

IT. Étant données les droites 4B, 4x (fig. 217), quel est le point «

D (x, y) tel, que, CD étant parallèle à 4x, on ait AC — CD? Prenons 4 pour origine, 4x pour axe des x; soient 47 — m, y— ax l'équ. de AB ; enfin menons 4D, et supposons que y — kx en soit l'équ. ; a est donné, et il faut trouver », +’ et y’, ou, si l’on veut, + et k.

On a CD= AE — AI — x — m, et, par condition, AC=mT<y=(x — m}; donc y? — 2? — Yma’.

Or, le point C'est sur 4B, et D sur AD ; donc y — amet y = ka’. Éliminant » ety,, il vient ak — 2% — a, équ. qui prouve (probl. I) que 4D coupe par moitié l’angle BAE : x’ ne restant pas dans le calcul, est arbitraire; ainsi, tous les points de 4D satisfont à la question, qui a une infinité de solutions.

IIT. Trouver les équ. des perpendiculaires 4F, CE, BD (fig. 218) menées de chaque angle du triangle ÆBC sur le côté opposé, la base 4C— b étant prise pour axe des x et l’origine est en 4; le - sommet B (+, y’) détermine le triangle.

La droite 4B a pour équ. y — ax, a étant %, parce qu'elle passe

en B. Il est aisé d’avoir de même celle de la droite BC, menée par B (x', y’), et C (b, 0); on a donc, pour les équ. de 4B et BC,

KA nd Lie FRERE Lis mr AL b).

De plus CÆ passe en C (b, 0); 4F par l'origine ; leurs équ. sont donc de la forme y — 4(x — b), y— Bx ; la condition d’être perpendiculaires aux précédentes donne (n° 370)

AV Buy!

7 +is0, g 5 +1=0:

donc les équ. des perpendiculaires sont

Pour trouver le point © où elles se coupent, il faut éliminer x ety; on trouve x — 2% — l’abscisse 4 D du sommet ; ainsi ce point O est sur l’ordonnée BD. Donc les perpendiculaires abaïissées des trois angles d’un triangle sur les côtés opposés se coupent en un même point. En décrivant sur 4C la demi-circonf. AEFC, et par les

points F, £ d’intersection, menant 4F et CE ; puis enfin, par le

point © de concours, traçant BD, on aura les trois perpendiculaires. IV. Trouver un cercle tangent aux trois côtés d’un triangle ABC

tance de AB et AC; en conservant la notation précédente, l’équ.

de 4C esty — La, donc les longueurs OF, OF des perpendiculaires sont (n° 374) Die set Ge à V(? + y? + b On a ÀC — b, et l’on met +, parce que le point inconnu O (x, &) peut être en dessus ou en dessous de 4C. « et 8 sont déterminés

par OE = OF, ou «y — 8 (x Æ b), équ. unique; ce qui prouve qu'il y a une infinité de points O, à égale distance de AB et AC,