DU CERCLE

y —= 0: ainsi, la courbe y MA s'abaisse sur l’axe des x qu'elle rencontre en À. Elle ne s'étend pas au delà de À, car y devient imaginaire. De ces notions résulte la figure de la courbe.

Toute droite OM menée par le point O (— R, 0) a pour équation y= a (x + R); de même pour 4 ( R,0), y — a (x — R)est l'équ. de HA. Le point Æ de rencontre de ces lignes a pour coordonnées

sm tten pt, Pour que ce point soit situé sur la circonférence , il faut que l’équ. 2 y? = R soit satisfaite par ces valeurs. Ainsi aa (1 EL aa’) —0 est l’équ. de condition qui exprime que les deux cordes se coupent sur'la circonf. On en tire a = 0, ou a’ =—0, ou enfin 1 + aa —0: les deux 1°"* expriment que, lorsqu'une des cordes est couchée sur le diamètre, la condition est satisfaite, ce qui n’apprend rien : l’autre 1 + aa’ — 0 indique que l’une des cordes ayant une direction quelconque, si l'autre lui est perpend., le point d’intersection sera sur la circonférence.

Comme y = R@ — x = (REX) X(R—%) et que RH x = OP, R — x AP,

PM estmoyen proportionnel entre OP et AP.

La longueur de la corde 4M est W [y 4 (R — x)]; ainsi AM = 28 — 2Rr = 2R(R — x); AM est donc moyen proportionnel entre 4P et le diamètre 40.

379. Pour obtenir les intersections d’une droite ÆN et d’un cercle NEXZ (fig. 222), on élimine x et y entre les équ. y —ax +4-b et y = À, de ces lignes ; il vient

MAC CP (La) 01 ; dd Ey/ dé Ge rt mon 1 9 4 b

“en faisant d = —— a distance de la droite au centre y’ (LH 4°) du cercle dont il s’agit (n° 374). Il se présente trois cas : 1° Si le radical estimaginaire, ou d > À, la droite ne rencontre pas la circonférence.

2° Sile radical est réel, ou 9 << R, le cercle est coupé en deux points ; et comme on peut prendre l’axe des + parallèle à la sécante MN, ou a — 0, on trouve = +y (R— 1); le signe +

prouve que le rayon perpend. à une corde la coupe en deux parties égales.

3° Enfin, si le radical est nul, on a 9 — R; la droite coupe la circonf. en un seul point, ou plutôt elle est tangente. Soient 2’, y les coordonnées du point 7'de contact, on trouve

d'où G-— A

Or le rayon CT (fig. 222) mené au point de contact 7' (x, y!) là

ayant pour équ. y=—= av, on trouve a” =: d’où aa — — l:ce

qui signifie (n° 370) que ce rayon est perpendic. à la tangente ; y = ax +-b devient

yy EG — Ris 0 . 2, (À) c'est l'équation de la tangente au cercle en un point quelconque (x', y”) de cette courbe.

Si par un point extérieur M (x, B),on veut mener une tang. MT, il faut trouver les coordonnées zx’, y du point 7 de contact : elles doivent satisfaire aux équ. du cercle, et «, B, à celle de la tangente ; donc

dy = RER, By ar —R . .,. (2

L’élimination conduit à des équ. du 2 degré en x’ et y, en sorte qu’il ya deux points de contact Z' et T', et par conséquent deux tang. MT, MT' menées par le point donné #. Mais, au lieu d’effectuer ce calcul, observons que nos deux équ. n’ont lieu ensemble, il est vrai, que pour les coordonnées constantes x’, y du point de contact ; mais que, si l’on ne prend que la seconde, +’ et y’ deviennent des variables; d’ailleurs, By + «x — R? est l’équ. de la droite TT" qui passe par les deux points de contact, puisque leurs coordonnées +’ et y y satisfont. Il est aisé de tracer cette droite (n° 868), et d'en tirer les points de contact et les tangentes.

y—0 donne l’abscisse du point B, où la corde TT” coupe

, R mis l'axe des x, CB — — : comme cette valeur est indépendante de &

B ou PM, il s'ensuit que si le point # se meut le long de PM, les

DU CERCLE. 365 tang. changent de situation ; la corde 77” tourne autour du point fixe B (voy. 413 et 464, IV).

On peut aussi présenter le calcul de manière à retrouver le procédé géométrique (n° 212, 11). Pour cela, retranchons nos équ. (2), et ne considérons que cette seule différence : x’ et y sont des variables, et les coordonnées du point 7 ou 7” de contact doivent satisfaire à l'équ. y — By 2° — ax = 0, qu'on peut écrire

18 HG ra 3 (e +8)

La courbe à laquelle appartient cette équ. passe donc par les deux points de contact. Or, cette courbe est un cercle dont le centre esten m (3 «, +8), et le rayon — (4 æ +8). Si donc on prend Cp = + CP, pm — =<PM, m sera le centre, et Cm sera le rayon d’un cercle qui passera par les points de contact cherchés Tet T'.

380. Soient deux cercles C et C’ (fig. 57), l’origine en C, CC'=— a sur l'axe des x; leurs équations sont 2° — y — R° pour C, et (x — a) +y = R° pour C’. En éliminant x et y, on a pour les points d’intersection

a? + AR? at R"2 V4 [4a°R° RE (a? = R? RS. R°»] su. jnodlogns sé vapes Re RS LUE NO LEE AU

L’abscisse étant simple et l’ordonnée double, la ligne CC”, qui joint les centres, est perpend. sur le milieu de la corde MN.

Il est aisé de tirer de ces équ. les conditions relatives aux cas où les cercles se coupent ou se touchent (n° 202) : en effet, le radical traité comme p.303, devient

—(a+R<LR)(a+R— R\(R+LR — a) (R + a — R).

Admettons que R soit — ou > ÆÀ”; les deux 1er facteurs seront positifs , et il reste à analyser les cas cn peuvent offrir RL R— a et R +a— R.

1° Siles signes sont les mêmes, ils ne peuvent être —, car on ne peut avoir ensemblea > RL R'et <°R — R'; ainsi, dès que le radical est réel, les circonf. se coupent en deux points, et l’on a a<R+R',;et>R—R.

2° Si l’un de nos deux facteurs est nul, & = R + R', ou a = R — R'; d'où y= 0, x—= R, les cercles n'ont donc qu'un point eommun sur la ligne qui joint les centres : c’est le cas du contact.