En appliquant le théorème du n° 38, 4°, à la proportion

80 ; 6 :: 15 : 8, ou À — =, on trouve | 30 + 15 15 ” 80 — 15 80 — 15 GES NE 683 6—3".

Si l’on fait le produit des extrêmes et celui des moyens, les produits communs à l’un et'à l’autre peuvent être supprimés, et il reste les quantités 30 X 3 et 15 X 6, égales d'après la proportion donnée.

Donc, 1° la somme ou la différence des antécédents est à celle des conséquents, comme un antécédent est à son conséquent.

2° La somme des antécédents est à leur différence, comme la somme des conséquents est à leur différence.

3° Soit une suite de rapports égaux == = 2, on aura

7 15 6 10+14<+30 14 RATE BEBE TI L, LI6 ports éqaux, la somme des antécédents est à celle des conséquents, comme un antécédent est à son conséquent.

4° Si l’on renverse la proportion donnée, on a 30:15 ::6:3, 80 +6 74. On peut multiplier deux proportions terme à terme. En effet, 30 : 15: 6 : 8, et 2 ; 3 :: 4 : G donnent les fractions égales

=—$,e: =; on trouve, en les multipliant,

80 K2:1BXB3::6X4:83X6.

onc, dans toute suite de rap-

d'où : (Componendo, Dividendo).

Donc, on peut élever les termes d’une proportion au carré, au cube , et par conséquent on peut aussi en extraire la racine carrée , cubique...

Des Rigles de Trois.

75. Lorsque les éléments d’un problème peuvent former une proportion dont l’inconnue est le dernier terme, un calcul simple (n° 72, 2) donne la valeur de ce terme : c’est ce qu’on nomme une Règle de trois. Ainsi 30 ouvriers ont fait 20 mètres d'ouvrage ; combien 21 ouvriers en feraient-ils dans le même temps? Accordons,

pour un moment, que les conditions de cette question soient expri--

mées par la proportion 30 : 20 :: 21 : x, en désignant par x le

nombre de mètres demandé ; on en conclut que cette inconnue

ape al rae80

Lorsqu'on veut résoudre, à l'aide d’une règle de trois, une question proposée, il est nécessaire de s'assurer si la solution peut dépendre des proportions; après quoi il ne reste d'autre difficulté qu’à placer les nombres contenus dans la question, aux rangs qui leur conviennent dans la proportion.

On reconnait que la solution d’une question dépend des règles de trois, lorsque l'énoncé est formé de deux périodes : les deux termes

‘de la première étant ÆZomogènes respectivement à ceux de la seconde , c'est-à-dire , de même nature deux à deux ; et que de plus ces deux\termes peuvent être multipliés ou divisés par le même nombre sans altérer la solution.

Ainsi, dans notre problème, 30 ouvriers et 21 ouvriers sont homogènes, et l'on pourrait mul- x; og x nef: tiplier ces deux nombres par 4 ou par 3...., sans y rien changer. Si l’on disait, par exemple, 60 ouvriers ont fait 20 mètres, combien 42 en feraient-ils ? cette question aurait visiblement la même solution que la première.

Au contraire, le temps qu’une pierre emploie à tomber n'étant pas double lorsque la hauteur est double ; un tonneau n’employant pas à se vider un temps triple, lorsque sa capacité est triple , ces éléments ne peuvent faire partie d’une règle de trois.

76. Après avoir reconnu que la solution d’un problème peut être donnée par une proportion, il s’agit d’assigner à chaque terme le rang qu’il y doit occuper. Le quatrième et le troisième sont d’abord inconnue et son homogène, qui seul peut lui être comparé. Le *ccond rapport étant ainsi une fois établi, il reste à former le pre-

me 4.

mier, lequel est composé des deux autres nombres compris dans le problème, et homogènes entre eux. Or, la question fait connaitre lequel doit être le plus grand des deux termes déjà posés, c’est-àdire del'inconnue et de son homogène; et,comme les antécédents doivent être ensemble plus grands l’un et l’autre, ou moindresque leurs conséquents, il est facile de décider lequel de ces deux termes homogènes qui restent à placer doit occuper le premier ou le second rang. Ainsi, dans la question précédente, après avoir posé 20 métres ; æ mètres, on voit que 21 ouvriers doivent faire moins d’ouvrage que 30, et que le conséquent x est <° 20; donc, des deux nombres 30 et 21 qui restent à placer, 30 est le premier, et l'on a80:21::20:zx.

Les deux exemples suivants éclairciront ceci.

Un ouvrage a été fait en 5 jours par 57 ouvriers; combien faudrait-il de jours à 19 ou- 4 Fa) SAT vriers pour faire le même ouvrage? Puisqu’on pourrait prendre deux ou trois fois plus de jours et autant de fois moins d'ouvriers, la question dépend des proportions. On placera d’abord 5 jours : + jours; et comme il faut plus de jours à 19 ouvriers qu'à 57 pour accomplir la même tâche, le conséquent x est >que 5; 57 est donc leconséquent du premier rapport, et l'on à

19 ouv. : 57 ouv.::5 jours ; x jours. x — a

Il a fallu 6 mètres d’une étoffe large de + pour couvrir un meuble; combien en faudra-t-il d'une étoffe large de 2? Quoiqu’ici les quatre termes soient des mètres , on reconnait que les uns expriment des longueurs et les autres des largeurs, et que 6 mètres et l'inconnue sont les deux homogènes. Ainsi, la proportion est terinince par 6 mètres : # mètres. Or, il faut moins de longueur à l’étoffe qui est la plus large ; comme £ © 5, ona x > 6; ainsi © est l’antécédent

2e 3 ee

du premier rapport, et l'on trouve 5 : 4 :: 6 : x, d'où D=CKIX Fe 67.

77. Quoiqu'il soit toujours facile de faire ce raisonnement, en l'évitant on donne plus de rapidité au calcul. On distingue deux sortes de rapports: le Direct, formé de nombres qui croissent ou décroissent ensemble ; l’un décroit au contraire quand l'autre croit, dans le rapport Znverse, Les 30 ouvricrset 29 mètres de la premiero

= 15 jours,

6 mit.

question sont en rapport direct, parce que plus il y a d'ouvriers, et plus ils font d'ouvrage. Dans la seconde , au contraire, 57 ouvriers et5 jours sont enrapport inverse, parce que plus il y a d’ouvriers, etmoins on doit les employer de jours pour faire un ouvrage. Lorsque les termes d'une question sont en rapport direct, et que, dans l'énoncé, les termes homogènes se présentent dans le mème ordre dans les deux périodes de la phrase, ces termes conservent leurs rangs dans la proportion. Ainsi 30 ouvriers ont fait 20 mètres d'ouvrage, combien 2} ouvriers en feraient-ils? On pose 80 ; 20 :: 21 : x. Si l’on eût énoncé ainsi la question : 20 mètres ont été faits par 30 ouvriers, combien 21 ouvriers en feraient-ils ? les termes homogènes ne seraient plus dans l’ordre voulu; ils ne s’y présentent dans les mêmes rangs qu’ils doivent occuper dans la proportion, qu’autant qu’en posant la question, on donne le même ordre aux termes homogènes dans les deux périodes de l'énoncé. Mais si le problème a ses rapports inverses, les termes doivent procéder en sens opposés dans la proportion , de sorte que le dernier des nombres énoncés soit écrit le premier, l’avant-dernier le second, etc.....; l’inconnue étant toujours à la quatrième place *.

* On peut éviter l'emploi des proportions ; dans tous ces problèmes, en réduisant & l'unité l'un des deux termes de la premiére période de l'énoncé : c’est ce qu’on fait en multipliant les deux termes de cette période, quand ils sont en rapport inverse, et divisant l’un par l’autre quand ce rapport est direct. En voici des exemples:

1er cas. Règles directes. On divise l'un des termes de la première période par l’autre, et l’on remplace ce dernier par 1. Dans la première question, 30 ouvriers font 20 mètres, etc., comme moins on a d'ouvriers et moins ils font d'ouvrage, on posera : si un

ST AUMTES = : : Aie S ouvrier fait Fa mètres, combien 21 ouvriers en feront-ils? Evidemment 21 fois davantage,

oux=— X21= 14.

ac cas, Règles directes. On multiplie l’un par l’autre les deux termes de la première période, et l'on remplace par 1 celui des deux qu'en veut. Dans le 2e problème, 5 jours ont suffi à 57 ouvriers, etc., comme moins on emploie d'ouvriers et plus il faut de jours pour faire le travail, on peut prendre 57 fois plus de temps et un seul ouvrier, savoir: un seul homme a employé 57 X 5 jours, combien 19 ouvriers mettraient-ils de temps? 19 fois

Dans tous les cas, le terme qu’on doit réduire à l’unité dans la première période est celui qui est Aomogène, ou de même espèce que le terme donné dans la deuxième période. On fera bien de beaucoup s'exercer à cette sorte de raisonnement: les questions énoncées dans le texte seront résolues par ce procédé. On en trouvera un grandnombre d'applications dansle Recueil des problèmes de M. Grémilliet, ainsi que de toutes les règles d’arithmétique : cet.estimable ouvrage est très-utile pour former les jeunes gens au calcul numérique.

Un homme a fait une route en 8 jours, marchant res, Jours. 7 heures par jour; combien eût-il mis de temps 7 8

. A 4 . A . Fe 44 s’il eût marché 10 heures par jour ? Règle inverse, , parce qu'en marchant plus d'heures par jour, il faut moins de jours pour parcourir la même distance : ainsi, 10:7::8: x = 5 <.

Voici quelques exemples des règles de trois :