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71. Lorsque la différence entre deux nombres, tels que 10 et 8, est la même qu'entre deux autres 7 et 5, ces quatre quantités forment une Équidifférence ; 10 — 8—7 — 5. Quand le rapport de deux nombres est le même que celui de deux autres, ces quatre quantités forment une Proportion; elle résulte de l'égalité de deux rapports : 20 et 10, aussi bien que 14 et 7, ont 2 pour rapport; on a donc une proportion entre 20, 10, 14 et 7, qu’on écrit ainsi, 20 ; 10 :: 14:7,etqu’on énonce 20 est à 10 comme 14 est à 7. On peut

aussi l'indiquer ainsi, 2 — ‘À, Lorsque nous préférerons cette dernière notation , ce qui arrivera le plus souvent, nous lui conserverons l'énoncé reçu : 20 est à 10 comme 14 est à 7 ; et non pas 20 divisé par 10 égale 14 divisé par 7, quoique ces locutions soient équivalentes.

Les termes 20 et 7 sont les Æxtrêmes, 10 et 14 les Moyens de la proportion,

Lorsque les deux moyens sont égaux entre eux, on dit que la Proportion est Continue : telle est la suivante : 16 : 24 :: 24 : 36, qu’on écrit ainsi : == 16 : 24 : 36. Le second terme se norme Moyen proportionnel,

Il est visible que l’idée la plus générale qu’on puisse se faire dela mesure des grandeurs (n° 36) consiste à avoir leur rapport avec Punité de leur espèce. Ainsi, lorsqu'on dit qu'une chose est — 3; OÙ est cinq fois le septième de l'unité, cela revient à dire que le rap port de cette grandeur à l'unité est le même que celui de 8 à 7. De même (n° 63) on mesure l’incommensurable y/ 7, en reniplaçant son rapport avec l'unité par celui de deux nombres, tels que 13 el 5, qui donnent Ja proportion inexacte, mais approchée,

M2 he 18: + 72. Suivant que les restes de deux soustractions 10 — 8 et 7 8 sont égaux ou inégaux, ils le seront encore après letr avoir ajonté la somme 8 - 5 des quantités sonstractives: ec qui donne 10 ar 5 et7 + 6, Donc, lorsqu'on a P éanidifférenrce 10 8—=17—5,7 6*

somme des extrêmes est égale à celle des moyens ; et réciproquement si 10 L5=— 7 +6, on a l’équidifférence 10 — 8 —7 — 5.

Il est donc bien aisé de trouver un terme d’une équidifférence connaissant les trois autres termes; car soit demandé le quatrième terme x, les trois premiers étant 10,8 et 7; puisque l’inconnue +, augmentée de 10, doit être — 8 4-7, il faut (n° #) que 2 = 8 + 7 — 10 — 5 ; on a donc léquidifférence

Soient pareillement deux rapports $ et # : pour juger s'ils sont égaux ou inégaux , il faut les multiplier par 8 X 7, produit des dé- … nominateurs, on a 6 X 7 d’une part, et 14 X 3 de l’autre. Donc, si l'on a quatre nombres en proportion, 6 : 8 :; 14: 7, le produit = des extrêmes est égal à celui des moyens.

Réciproquement, si l’on a quatre nombres 6, 3, 14 et 7, tels que les produits 6 X 7et3 X 14 se trouvent égaux , on en conclura : VPégalité de leurs rapports, ou la proportion 6 : 8 :: 14 : 7, ou — $ — + : donc on peut toujours former une proportion avec les facteurs de deux produits égaux.

1° Le produit des moyens devient un carré, s'ils sont égaux. Donc le moyen proportionnel entre deux nombres est la racine carrée de leur produit. Entre 38 et12,le moyen proportionnel estp/ (3 X12)—6, savoir — 3 : 6 ; 12. Réciproquement, si l’'on.a 6° — 3 YX 12, on pourra former la proportion continue :

2° Si une proportion renferme un terme inconnu, telle que 6:38 :: 14°; comme trois fois 14 doit être égal à six fois l’inconnue, elle est (n° 5) le quotient de 3 X 14 divisé par 6, ou = — 7; donc 6 : 3 :; 14 : 7. En général, l’un des extrêmes se trouve en divisant le produit des moyens par l’extrême connu. Si l'inconnue était un moyen, on diviserait le produit des extrêmes par le moyen connu. | 3° On peut, sans détruire une proportion, faire subir aux divers termes qui la composent tous les changements qui conduisent encore à donner le produit des extrêmes égal à celui des moyens. Ainsi pour 6 : 3 :; 14 : 7, qui donne 6 K 7 — 3 X 14, on peut J. Déplacer les extrêmes entre eux, ou les moyens entre eux (ce

qu'on désigne par Ælternando) ; ainsi,

0,9 14:54 2 FT ir MCE et EC:

ou. ?.° 14 °°. 8 20. :

II. Mettre les extrèmes à la place des moyens (ce qu’on nomme Invertendo) :