TZ
20 x — y à; on Ôte log 5 de log7,
et on prend la moitié. Pour trouver le log 7 = 0,8450980 LS x sul , — log 5 — 0,6989700 nombre qui répond à ce résultat qui de OP TTTE est un logarithme négatif, on le re- 08 à au 0,0730640 tranche de 1, ce qui rend le nombre compl: — 0,9269360 10 fois trop grand; on a 0,9269360, qui répond à 8,45154 ; donc à a = 0,845154.
0027 | Sa — y/0,00027, onprendletiers log 100000 — 5,0000000 32,41 log 27 — 1,4515638 de log 100000 — log 27, etc. On re- Jog 0,00027 = — 5,5686362 tranche log æ de 8, ce qui rend le lctiers = — 1,1895454 | . . 50 AA = — nombre 1000 fois trop grand; il vient 1% do LE 1 dy x 0g LT = — 4 + 0,2997756 », QUI répond a 1,9942 : co. — 0,2997756 donc x = 0,0019942.
IL. Il est préférable d'employer les logarithmes dont la caractéristique seule Le ri pit Pa. 1 + log 5 — 1,6989700 est négative, Ainsi, dans le deuxième log 7 = 0,8450980 calcul log ; = log 8 — log 7; on log 5 — 1,8558720 rendra la soustraction possible, en ou — 2 + 1,8538720 ajoutant 1 à la caractéristique de l0g 5 : log & = 1,9269560
mais il faudra ôter de la différence
cette unité ajoutée, et l’on aura log > — — 1 + 0,8538720; qu'on écrit 1,8538720. La caractéristique est alors seule négative, et il | faudra, comme ci-dessus, y avoir égard dans les calculs subséquents. Ici, où l’on doit prendre la moitié, pour éviter les fractions à la caractéristique, on y ajoute 1, et elle devient — 2, et aussi 1 au . chiffre 8 des dixièmes, qui devient 18 : ces deux additions de l'unité positive et négative n’altèrent pas le logarithme ; la moitié est. comme ci-dessus, log à — 1,9269360.
Observez donc, lorsqu'il faudra diviser un log à caractéristique négative , d'y ajouter assez d'unités pour qu’elle devienne un multiple du diviseur, et d’ajouter autant d’unités de dizaines au chiffre suivant, qui est la première des figures décimales. La première et la troisième opération sont exécutées ici d’après ces principes , et l'on peut reconnaitre que les calculs sont devenus plus faciles et plus prompts.
log 5 = 0,4771215 log 0,00027 = 4,4513658
log 42,212 = 1,6254559 On ajoute 2 à la caract. où — log 5 — 0,6989700 pour prendre le tiers, . . . . . = 2,8104546 æ ]0g 0,04 — 2,6020600 — log 32,41 — — 1,5106790 log æ — 2,8015972 log æ — 3,2997756
4° On peut, au lieu de soustraire des logarithmes (10), ajouter leurs compléments arithmétiques. Dans la première opération, log 5 — 7,4771215
pour log À, on ajoute au log 3 le complé- Cilog 5 = ire ment de log 5, L'avantage qu’on en retire PE LRO
Li ÿ - ô T 2 Crlog 0,04 — 1,3979400 est à peu près nul, attendu qu'on peut faire, - jog & 2 5,8015272
d’un seul trait, toutes ces additipns et soustractions,
Lorsqu'on veut exécuter un calcul par log., il convient de simplifier avant tout les expressions; ainsi le premier exemple se réduitàr —:X 3 X 422,12 — 1,5 X 422,12;
III: Pour obtenir les log: des entiers compris entre deux nombres quelconques, tels que 10 et 20, il faut concevoir qu'on a inséré un assez grand nombre de moyens par quotient, püur que parmi ces moyens , très-peu différents les uns des autres, il y en ait qu’on puisse règarder, par approximation, comme égaux à 11, 12, 13,.... c'est-à-dire que ces moyens ne doivent différer de 11, 12, 134.: que dans l’ürdre des décimales négligées.
Dans une progression géométrique, telle que <= 8 : 32 : 128... dont la raison est 4; on a 32 = 8 + 8.3, 128 — 82 + 32.38... Ainsi, l’excès d’un terme sur celui qui le précède est le produit de celui-ci multiplié par la raison moins un : l’un de ces facteurs croît avec le rang dü terme , l’autre est constant : cet excès croît donc sans cesse, et il y a moins d’entiers compris entre 8 et 32, qu'entre 32 èt 128... Pour obtenir les log. de ces entiers intermédiaires ; il faudrait y insérer des moyens géométriques en quantités suffisantes, et aussi dés moyens arithmétiques en égal nombre entre les deux térmes correspondants de la progression des log. La différence constante de celle-ci sera donc partagée entre un plus grand nombre de termés à mesure que l’entier croîtra ; ce qui démontre que plus un nombre est grand, et moins son logarithme diffère de celui qui le suit dans la table. Aussi voyons-nous que les log: de 1,10, 100... étant 0, 1, 2,:.; les neuf nombres de 1 à 10 se partagent entre eux, quoique inégalement, une unité entre leurs log. ; et que les
90 nombres de 10 à 100, les 900 de 100 à 1000....se partagent aussi
une seule unité.
La différence entre les log. ne tarde même pas à devenir assez petite pour n’affecter que les deux ou trois dernières décimales , et à être la même dans une certaine étendue de la table. Par exemple, . en se bornant à sept figures seulement, 79 est l'excès de tous les log. des nombres , depuis 54700 jusqu’à 55300 environ. La différence n’est pourtant pas constante, et si l'on conservait un plus grand nombre de décimales, on la verrait varier sans cesse.
Ainsi, quoiqu'il soit faux de dire que les nombres croissent proportionnellement à leurs logarithmes , on voit qu’on peut le supposer sans erreur, du moins pour de grands nombres, et dans une petite étendue. Cela posé, soit demandé le log d’un nombre qui excède les limites des tables, tel que 5487343, par exemple, dans celles de Callet, quine vont que jusqu’à 108 mille. En néglisgeant 43, on cherche le log de 54873, qu'on trouve être 7393587, et qui ne diffère de celui de 54874 que de 79. Puisque une unité de différence entre les nombres, répond à 79 de différence entre les log., on posera cette proportion:
Si 1, diff. entre les nombres , donne 79, diff. entre les log., combien 0,43, diff. entre les nombres, donnera-t-il de diff. entre les logarithmes? ou 1 : 79 :: 0,48 : x — 84.
Ainsi, 34 est l'excès du log de 54873,43 sur celui de 54873 : en ajoutant 34 à ce dernier, on a 7393621, et il ne s’agit plus, pour avoir le log cherché, que de mettre la caractéristique , d’après la place que la virgule occupe dans le nombre proposé : ainsi (n° 90)
log 54,87343 — 1,7393621, log 0,8487343 — 1,7393621 , etc.
Ilest inutile de remarquer que,dans notre proportion,79et84tiennent lieu de 0,0000079 et 0,0000034. D'ailleurs, les tables de Callet offrent à chaque différence logarithmique la valeur de 1, 2, 3,.... 9 dixièmes de cette différence, en sorte que le quatrième terme de la proportion est de suite calculé.
IV. Pour trouver le nombre qui répond à 1,7393621 , on voit d’abord que ce logarithme, abstraction de la caractéristique, tombe entre les nombres 5487300 et 5487400 , et que la différence entre le log proposé et celui de 5487300 est 34 ; ainsi on fera la proportion suivante, 79 : 1 :: 34:x=— #, inverse de celle qu'on vient
LOGARITHMES. 109 d'employer : on trouve x — 0,43 ; ainsi le log proposé est celui du nombre 0,5487343.
Voici des règles conjointes où les log. simplifient le calcul :
I. La toise ou le pied anglais vant 0,938293 toise ou pied français, en trouver la valeur en mètres?
æ mètres , = 10 {oise angl su eos A 1 toise angl. — 0,938293 toise franç. . . . . tr. 108 = 1,9723385 1 toise franc. — 1,949036 mètre. . . . . . . « « . . log — 0,2898199
æ = 1m,828767 — 1 toise angl. . . . . . . . . ... .. log — 0,2621584 On trouve de même 1 pied angl. = 0m,3047946. . . . . . log = 1,4840072
IT. Un centimètre cube d’eau pèse un gramme; combien de livres pèse un pied cube d’eau ?
x livres
29,17386 pieds cub.
1 décim. cube
1 centim, cube 1000 grammes
29,17386 X x TX
1 pied cube.
1000 déc. cubes log = — 1,4649939 1000 cent. cubes. . . ,.. . log = + 35,0000000 1 gramm. p. 60.
MIE ,01280 Te se 7 log — + 0,5102421
1000 X 2,04288 log x —= + 1,8452482 70#-,0242 = poids d’un pied cube d’eau pure.
HUNU
IT. Dans un pays où la longueur du pied est de 13 pouces de Paris, et où la perche vaut 20 pieds, on demande combien cette perche vaut de centiares, et combien l’arpent de ce pays vaut d’ares ?
1 are — 26,5245 toises carrées AHD UIS nuids 10e nc at A AT DDR 1 = 36 pieds carrés AOÛ ne de 5011 2:0020000 1 — 12 X 12 pouces carrés 26,3245 . . . . . . . + — 1,4203600 13 X13— 1 pied carré DD als NS 51 +. — 1,5563025 20 X20— 1 perche carrée 1e ait. .... — 2,1583625 1 = æares
152.202— 96,3245 X 56 X 122.x RTS IIS ro HS 1T,69492 169.400= 26,3245 X 56 X 144.x x = 0,4954 ares.
Ainsi, la perche vaut 49,54 centiares ; l’arpent, 49,54 ares.
IV. Pour montrer eomment on a pu calculer les nombres qui composent le tableau suivant, nous choisirons cet exemple. En partant de la longueur du mètre légal, qui est de 443,296 de la toise du Pérou, et sachant que l’ancien boiïsseau était une capacité de
655,78 pouces cubes, on demande combien le boisseau vaut de
décalitres.
x décal, = 1 boisseau 1 = 655,78 pouces cub.
1 —= 1728 lignes cubes (445,296)3 — 1 mètre cube
1 = 1000 décim, cubes 1 = 1 litre
40 —= 1 décalitre
100 sou. rer°2
& CHE PAU ON NS QU De le D | 0,1142205 æ — 1,60083 un boisseau vaut 1,30083 décal.
