PROGRESSIONS

que le dernier terme 32 de la progression étant égal au premicr 4 augmenté de la raison prise 7 fois, 32 — 4 ou 28, est 7 fois la raison inconnue; donc la raison — = 4;etl'onala progression #04. 6 . 12. 16 : 20. 24, 98 . 92.

Pour insérer, entre deux nombres donnés, des moyens proportionnels arithmétiques ou par différence, on divisera La différence de ces quantités par le nombre de moyens plus un ; le quotient sera la raison.

De même, pour insérer 8 moyens entre 4 et 11, on trouve la

À 11— 4 7 TASONn = — D" 9: la progression est

mbhdiehes0%:2%,78, 88:98. 108

86. Une progression géométrique, ou par quotient, est une suite de termes dont chacun contient celui qui le précède , ou s'y trouve contenu, le même nombre de fois. Telle est Ia suite 8 :6: 12:24 : 48 : 96 :.... la raison ou le quotient est 2,

Le second terme est égal au premier multiplié par la raisons le troisième est égal au second multiplié par la raison, et par conséquent au premier multiplié par le carré de la raison ; de même, le quatrième est le produit du premier par le cube de la raison , etc. En général , un terme quelconque d’une progression par quotient est le produit du premier, par la raison élevée à une Puissance marquée

par le nombre des termes qui précèdent. On peut donc

1° Calculer la valeur d'un terme, sans être obligé de passer par tous ceux qui le précèdent. Le dixième terme de notre ei-dessus est 8 X 29 — 3 X 519 — 1586. ï ;

2° Pour insérer 8 moyens proportionnels géométriques entre 8 et 1536, je remarque que la progression doit avoir 10 termes , et que le dernier terme 1586 étant égal au premier 8, multiplié par la raison élevée à la puissance 9 : si l’on divise 1436 par 8, le quo. tient 512 est la neuvième puissance de la raison, d'où la rai-

progression

son = J/ 512 — 2 (p. 81). Donc, pour insérer entre deux nombres donnés des moyens proportionnels géométriques, il faut prendre leur quotient, el en extraire une racine d’un degré égal au nombre des moyens plus un : cette racine sera la raison.

Pour insérer quatre moyens entre 8 et 64 , il faudrait extraire

la racine cinquième de ouy/8, quantité irrationnelle (no 63) ; bu

on ne peut donc assigner exactement ces moyens, mais On en ap-

proche autant qu’on veut. La raison est 8 —= 1,5157 ; ainsi la progression cherchée est

22 8 * 12,1957 : 18,3792 : 27,8576 : 42,2243 : G4, Des Logarithmes.

. 87. Remarquons que les théorèmes relatifs aux progressions par différence deviennent ceux qui se rapportent aux progressions par quotient, en changeant l'addition en multiplication, la soustraction en division, la multiplication en élévation de puissances, et la division en extraction de racines. C’est sur cette observation qu'est

fondée la théorie des Logarithmes.

Concevons deux progressions, l’une par quotient, l’autre par différence, dont les termes se répondent deux à deux, telles que

ee "Se 0: 97:: 01: 248 * 729 *12107, ...Vombres.. 0092014076: 6 106124 11, Loge ne

Chaque terme de la seconde est appelé le Zogarithme du nombre correspondant de la première; 0 est le logarithme de 1, 2 l’est”. de 3, 4 de 9; 6 est le logarithme de 27, etc. Les logarithmes sont donc des nombres en progression par différence, qui répondent , terme” à terme, à d’autres nombres en progression par quotient. :

Comme les logarithmes n’offrent d'utilité qu’en vertu de propriétés qui supposent que ces progressions commencent, l’une par 1, l’autre, par 0, nous ne nous occuperons que de celles qui remplissent cette” condition.

Il suit de ce qu’on a dit (n° 85 et 86), et de ce que nos progressions commencent, l’une par wn, l’autre par zéro, qu’un terme quelconque est formé de la raison, autant de fois facteur pour la première, et autant de fois ajoutée, pour la seconde, qu’il y a de termes avant lui. Les sixièmes termes, par exemple, sont 243, Be puissance de la raison 8, et 10 qui est 5 fois la raison 2. Ainsi, raison est autant de fois facteur dans un nombre qu’elle est de fois. ajoutée dans son logarithme. |

Si l'on multiplie entre eux deux termes de la progression par quotient, tels que 9 et 243 ; la raison 8 sera 7 fois facteur dans le.

produit (page 70), parce qu'elle l'est 2 fois dans 9, et 5 fois dans 243 : le produit 9 X 243, ou 2187, sera donc le huitièmé terme de la première progression, Mais si l’on ajoute les termes 4 et 10 correspondants dans la progression par différence, la raison 2 sera aussi 7 fois ajoutée dans la somme 14, donc le produit 2187 et la somme 14 seront des termes correspondants ; ainsi 14 est le logarithme de 2187 ; donc la somme des logarithmes de deux nombres est le logarithme de leur produit. Pour multiplier 9 par 27, par exemple, il suffit d'ajouter les logarithmes 4 et 6 qui répondent à ces facteurs, et de chercher le nombre 243, qui répond à la somme 10 prise parmi les logarithmes ; 243 est le produit cherché.

Il suit de là que le double du logarithme d’un nombre est le logarithme du carré de ce nombre; le triple est le logarithme du cube ; et , en général, en multipliant le logarithme d’un nombre par un facteur quelconque, on aura le logarithme d’une puissance de ce nombre marquée par ce facteur. Pour 9%, on triple le #4, qui répond au nombre 9 et en estlelogarithme ; 3 X 4 — 12 répond à 729—9#.

Les inverses de ces opérations sont faciles à démontrer ; car le logarithme du quotient plus celui du diviseur devant donner celui du dividende , il s'ensuit que le logarithme du quotient de deux nombres est la différence des logarithmes de ces nombres. Pour diviser 243 par 27, retranchez 6 de 10, la différence 4 est le logarithme de 9 ; ainsi 9 est le quotient demandé.

De même aussi, le logarithme de la racine quelconque d’un nombre, est le quotient du logarithme de ce nombre divisé par le degré de

celte racine. y/729 s'obtient en prenant le tiers de 12, et cherchant 4 parmi les logarithmes. Le nombre c correspondant 9 est la racine cherchée.

88. Si, au lieu de prendre 8 pour raison de la progression par quotient, on eût choisi une quantité beaucoup plus petite, ces propriétés auraient encore subsisté : les quantités dont cette progression serait composée auraient été plus près les unes des autres, et l’on y aurait trouvé, par approximation, les nombres 1, 2, 3,4, 5... Concevons donc qu’on ait formé une progression, dont le quotient eût été assez petit pour qu’on y ait trouvé, à très-peu près, tous les nombres entiers , et qu'on en ait composé une table, dans laquelle on aurait inscrit ces nombres et leurs logarithmes, en supprimant d’ailleurs tous les autres termes intermédiaires : Les principes qu’on

vient de démontrer auraient également été vrais. Supposons cette table formée : on voit que

1° Pour multiplier des nombres entiers donnés, il suffit de prendre dans la table leurs logarithmes, de les ajouter et de cherchér la somme parmi les logarithmes ; le nombre correspondant est le pro: duit cherché *

2° Pour diviser deux nombres , on retranchera le Iogarithme du diviseur de celui du dividende; on cherchera le reste parmi les logarithmes : le nombre correspondant sera le quotient demandé **,

3° Pour faire une règle de trois , on ajontera les logarithmes des moyens ; on en retranchera celui de l'extrême connu : le nombre répondant au résultat sera l’inconnue ***.

4° Pour obtenir le logarithme d'une fraction, on retranchera le logarithme du dénominateur de celui du numérateur : Le reste sera le logarithme démandé. Les tables ne contiennentqueles logarithmes des nombres entiers ; ce théorème en étend l'usage aux fractions . (n° 91, 1) +t#*,

5° Pour élever un nombre à une puissance , on ARS HE son logarithme par le degré de la puissance , on cherchera le produit

“ On demande, par exemple, le produit 47 X 863 ; la table donne les logarithmes de ces nombres; on les ajoute, comme 18 “+ re AA on le voit ci-contre ; on cherche la somme parmi les logarith- rec mes, et la table donne 40 561 pour le nombre correspondant, Feeyne ces PMPOPTRT qui est le produit demandé,

** Si l’on veut diviser 40 561 par 863, la table fera connaître les logarithmes de ces deux nombres ; et, les retranchant, on cherchera la différence parmi les logarithmes des tables : le nombre 47 qui y correspond sera le quotient.

*#* Pour la proportion 153 ! 459 ? 2? «7 ? æ, après avoir

pris les logarithmes de ces trois nombres, on retranchera D A5 F he celui du premier terme 153 de la sommedesdeux autres ; — Log 153 = 21846914 et observez que cette double opération peut être faite 71,7075702.

d’üh seul trait. On peut aussi ajouter le complément arithmétique du logarithme de 153 (voyez n° 10), au lieu de retrancher ce log. Le résultat cherché dans la table parmi les log. répond à 5r, quiest le quatrième terme inconnu,

2 5 26 *#%* Pour avoir le log de3-— ou —, on retranchera le log 26 = 14149734 7 fl log 28 = 1,4471580 . | " 5 > — log 7 = 0; ’3150980 log 7 du log 26. Pour obtenir le produit de 3 — par 2 <> Cu — log 13 == 1,1139434 7 . 0,9030900

26 28 . ; ; set par il faudra ajouter les logarithmes de ces

deux fractions, ou log 26 — log 7 -+ log 28 — log 13. On voit ce calcul effectué ici d’un seul coup. Le résultat est log 8 : donc 8estle produit demandé, ce qui est d’ailleurs visible.

parmi les logarithmes ; il répondra à la puissance demandée *,

6° Pour extraire une racine d’un nombre, on divisera le lowarithme de ce nombre par le degré de la racine, et l'on cherchera le quotient parmi les logarithmes ; le nombre qui s'y rapporte sera la racine cherchée **,

On voit donc que les calculs les plus compliqués sont rendus trèssimples : les multiplications et divisions sont remplacées par des additions et soustractions ; les élévations de puissances et les extractions de racines sont réduites à des multiplications et des divisions. Ces admirables propriétés des logarithmes en rendent l'usage si important, que c’est un devoir de consacrer la mémoire du célèbre géomètre écossais Nérer, qui en est l'inventeur. -

89, Formation des tables. I s’agit maintenant d'expliquer comment on peut obtenir les logarithmes de tous les nombres entiers. Jusqu'ici, nos progressions par différence et par quotient sont quelconques l’une et l’autre ; ainsi, wn même nombre a une infinité de logarithimes. Nous vetrons bientôt la raison qui a fait préférer les séries suivantes :

2 1 : 10 : 100 : 1000 : 10000 : . . . « 4 « Nombres. tit ES en . 4 “hate bas RTE

0, 1, 2,.... sont les logarithmes de 1, 10, 100...., il s’agit de trouver ceux de 2, 8, #...., qui sont visibleiüent compris entre 0 et 1; ceux de 11, 12.,:..99, sont entre 1 et 2, etc. On ne peut obtenir ces logarithmes que par approximation ; bn se contente ordinairement de 7 décimales.

Observons que si, dans une progression, telle que

0.2.4,6:8.10..:.0on omet un terme sur 2 consécutifs, ou 2 sur 8,.... on forinéra d’autres progressions. ...0.4,8.19,.... ou,0.6.12....On peut de même imaginer que les progréssions que nous avons prises font seulement partie de deux autres dont les termes étaient beaucoup plus voisins , et dont on avait omis ün certain nombre d’entre eux.

* La puissance cinquième de 17 se trouve en répétant log 17 = 1,2304489 5 fois log 17, et cherchant le produit dans la colonne des logarithmes ; il répond au nombre cherché 175 = 1419 857. 6,1522445

* La NW 1419857 s'obtient en divisant par 5 le log du nombre proposé, et cherchant le + quotient parmi les log. de la table, Lé nombre correspondant est 17, racine cherchée.

Ainsi, concevons qu’on ait inséré entre 1 et 10 un très-grand nombre de moyens proportionnels par quotient; comme on monte alors de 1 à 10 par des degrés très-serrés, il arrivera que, parmi ces moyens, on rencontrera les nombres 2, 3, 4,.... à un dix-millionième près. Cela posé, si l’on insère un pareil nombre de moyens par différence entre 0 et 1, ceux de ces moyens qui occuperont le mème rang que 2, 8, 4... seront les logarithmes de ces nombres. On raisonnera de même de 10 à 100, etc. 4

Il est vrai que, pour insérer un grand nombre de moyens par quotient, il faudrait extraire une racine d’un degré très-élevé (86) ; mais on évite cette difficulté à l’aide de diverses racines carrées successives. Par exemple, cherchons le logarithme de 8 ; le moyen par quotient entre 1 et 10 est 3,16227766, et par différence entre 0 et L est 0,5; 0,5 est donc le logarithme de 3,1622....., nombre déjà voisin de 3. Une pareille opération pour 1 et3,1622.... d’une part, et pour 0 et 0,5 de l’autre, donne 0,25 pour le logarithme de 1,77827941.De même, entre 1,7782....,et3,1622..... d’une part, et entre 0,25 et 0,5 de l’autre, on trouve pour moyens 2,37137870 et 0,375. En continuant de resserrer ainsi ces limites, on trouvera.0,80102999 et 0,47712125 pour logarithmes de 2 et 8.

Ces calculs sont très-pénibles; il est vrai qu’on n’est obligé de les pratiquer que pour les nombres premiers, puisque les autres logarithmes s’en déduisent. Mais, malgré cela, il en reste assez pour lasser la patience, Aussi n’avons-nous présenté ce procédé que comme un moyen de concevoir la formation des tables, nous réservant d’en donner de plus expéditifs (626).

90. Ilest aisé maintenant d'expliquer pourquoi on a attribué la préférence aux deux progressions adoptées. Tout logarithme est formé d’une partie entière, qu’on nomme Caractéristique, et d’une fraction décimale : or,

1° Les nombres compris entre 1, 10, 100,.... ont leurs logarithmes respectivement compris entre 0, 1, 2,.... c’est-à-dire que le logarithme de tout nombre a pour caractéristique autant d'unités que le nombre a de chiffres entiers moins un ; ce qui permet de fixer ce nombre de chiffres, lorsque la caractéristique est donnée, et réciproquement. Le nombre 543,21 a deux unités entières à son logarithme : et 8,477121125 est le logarithme d’un nombre dont la partie entière a quatre chiffres. On évite souvent de charger les tables de cette caractéristique qui y est inutile.

2° Lorsqu'on veut multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, 1000,.... il faut ajouter ou ôter à son logarithme 1, 2, 3,.... unités; d’où il suit qu'augmenter où diminuer la caractéristique de 1, 2, 3,.... c'est multiplier ou diviser le nombre correspondant par 10, 100,.... c’est reculer la virgule du nombre de 1, 2, 3,.... rangs à droite ou à gauche, Les logarithmes des nombres 3,4578, 34,578, 345,78, ont la même partie décimale ; seulement les caractéristiques sont respectivement 0, 1, 2...

Tels sont les avantages que présente le système de logarithmes de Briggs, qui l'ont fait préférer dans la composition des tables. Nous l’indiquerons à l'avenir par le signe log ; ainsi log 5 désignera le logarithme tabulaire de 5, c’est-à-dire le logarithme pris dans l'hypothèse de deux progressions du n° 89.

91. Usage des tables. Il faut avoir des tables de logarithmes entre les mains pour en concevoir l'usage; celles de Callet, de Borda et Delambre , sont les plus usitées. Nous n’entreprendrons pas ici d'expliquer leur usage ; mais il est quelques points qui tiennent à la doctrine même, et qu'il est bon d’éclaircir.

I. Les log. des nombres <° 1 présentent une difficulté : en gé- - néral (n° 86, 4°) il faut retrancher le og du dénominateur de celui du numérateur pour avoir le log d’une fraction : mais , lorsque celle-ci est moindre que 1, la soustraction devient impossible. Par exemple, pour multiplier 5 par +, comme cela équivaut à diviser 5 par + ,ilest indifférent d’ajouter log à log 5, ou de retrancher log + de log 5 ; c’est alors cette dernière opération qu’on préfère. On voit donc qu’il faut soustraire le log du numérateur de celui du dénominateur, mais qu'on doit employer ce log en sens inverse; c’est-à-dire le soustraire s’il fallait l’ajouter, ou réciproquement. On donne le nom de Logarithmes négatifs à ces valeurs; on les distingue par le signe — qu’on place devant. Un peu d'attention suffit pour éviter les erreurs.

Voici divers exemples propres à faciliter l'intelligence de ces calculs :

jo 222212 X à log5— 0,6989700 log 100 — 2,0000000 004 —log5— 0,4771215 — log 4— 0,6020600

log à ——0,2218487 log 0,04——1,5979400

log 42,212 — 1,6254359 1,4035872

1,4055872 log x — 2,8015272