CHAPITRE PREMIER

Notions générales.

92, En arithmétique on a pour but de combiner entre eux des nombres, selon de certaines règles : en Algèbre, ce n’est pas un résultat numérique qu’on veut obtenir, mais on cherche la manière dont chaque nombre entre dans le calcul. La solution de tous les problèmes de même nature, qui ont seulement des données différentes, exige des calculs semblables pratiqués sur ces données. Par exemple, l'intérêt d’un capital se trouve en multipliant ce capital par le temps écoulé et par le 100° de l'intérêt que rapportent 100 francs dans l'unité de temps (n° 150). L’algèbre s'occupe de la recherche des calculs à faire dans chaque problème, et pour y parvenir, on y représente les données par des lettres a, b, c,.... propres à désigner tous les nombres , afin de reconnaître dans le résultat , à travers toutes les réductions et les modifications, la manière dont chacune s’y comporte,

Cherchons, par exemple, le nombre dont le triple est égal à 100, plus la moitié de ce nombre ; nous raisonnerons ainsi :

3 fois l’inconnue égale 100 plus la moitié de l’inconnue st. . Le 4 sn, 88 =,100 H :5 .

Retranchant de part et d'autre la moitié de l'inconnue, on a

3 fois l’inconnue moins sa moitié égale 100, 3x — :x — 100 ou © fois l’inconnue égale 100 . . . . . . . . ?x — 100

- Enfin (5), divisant des deux côtés par +, l’inconnue égale + de 100 ou égale 40 . . . . x —+100 — 40

MATHÉM, PURES, T, 1.

L'alsébriste représente l’inconnue par x, et;' à l'aide des signes, exprime les parties de ce raisonnement, comme on le voit ci-dessus. Et s’il met a au lieu du nombre 100, il aura

8x — a + :7, ST — -T —= QG, OU ;5T —= 4, Z- = $a.

Ainsi, l’inconnue dont le triple est égal à sa moitié, plus une quantité donnée, est les de cette quantité, quelle qu'elle soit. (voyez page 130). |

La manière de démontrer les théorèmes peut encore différer beaucoup en algèbre et en arithmétique. Veut-on prouver une proposition? On prendra en arithmétique un exemple numérique quelconque, et l'on procédera de manière à conclure la proposition, non-seulement pour l’exemple individuel sur lequel on a opéré, mais encore pour tout autre. On fera donc un raisonnement général sur un exemple particulier. En algèbre, au contraire, on prendra un exemple formé de symboles assez généraux pour représenter tous les-nombres; on pourra raisonner d’une manière qui soit particulière, etsouvent les combinaisons seront purement mécaniques. C’est ce que la suite expliquera mieux (n° 106).

93, Convenons donc de représenter les quantités connues par des lettres a, b, c...; ce sont les nombres donnés qui servent de base aux raisonnements, et de la grandeur desquels nous voulons rester maîtres de disposer ensuite. Si s est la somme des quatre nombres a, b, cet d, nous écrirons s= a + b+Lco+ d.

s— a a —+.a + a, se réduit às— 4 X a, ou simplement — 4 a, en Ôtant le signe de la multiplication qui devient inutile. Le chiffre 4 se nomme Coefficient *. Sile nombre a doit être répété 2, 5,7... nfois, on écrira 24, 5a, Ta,....na. De même, on désigne par @, a’, a’, ….a" que a est 2, 5, 7,....n lois facteur, savoir, aa, aaaaa ,etc,

On nonrme Zerme toute quantité séparée d’une autre par les signes H ou— ; le binome a deux termes, tels sont a X b, ac — kab ; Je trinome trois , tels que a - b— c, ad — 4ab — 2bc; le polynome

enfin a plusieurs termes.

* On doit bien se garder de confondre les exposants avecles coefficients, ak, par exemple, avec 4a : les exposants indiquent la multiplication réitérée d’une quantité par elle même; les coefficients en marquent l'addition: ai=a.a.a.a; 4{a=a+a+a+ a. Si a représente le nombre 5, ai = 625, et4a = 20. ‘ »