RÉDUCTION, ADDITION, SOUSTRACTION

Letrinome a — b — e désigne qu'après avoir ôté b de a, il faudra encore retrancher c du reste; ce qui revient à a — (bc); a — b — best visiblement égal à a — 2b ; de même

De la Réduction, l'Addition et la Soustraction.

94. On appelle Réduction l'opération algébrique qui tend à réunir plusieurs termes en un seul ; mais il faut pour cela que ces termes ne diffèrent que par les coefficients , et qu'ils soient formés des mêmes lettres affectées des mêmes exposants, 3a — 2ab — b, 3a — 2a, Bab? + 2ab5 — 3b°, sont des quantités irréductibles, On verra aisément que

Sabc? — abc? — bc + 2bc$ + a2d?

Qa — 353 + a — cc + 3b 3b + Qac — 5b — 3ac + ac + d

2abc? + bei + ad; 54. — CC; d — 2.

INR

En général, on ne prend d’abord que deux termes semblables ; et la réduction ne frappe que sur leurs coefficients, c’est-à-dire qu’on ajoute ces coefficients lorsque leurs signes sont les mêmes, et qu’on les retranche s'ils sont différents : on donne ensuite au résultat le signe commun dans le premier cas, et le signe du plus grand coefficient dans le second. Les lettres et leurs exposants demeurent d’ailleurs les mêmes.

On doit attribuer le facteur 1 aux termes qui n’ont pas de coefficient (n° 54); bet ac équivalent à lb et lac.

À proprement parler, il n’y a en algèbre ni addition, ni soustraction , mais bien une réduction lorsqu’elle est possible ; l’addition et la soustraction restent encore à exécuter dans a beta — b.

Ainsi, pour faire l'addition ci-contre, on n'éprouvera d'autre embarras que ce- 54° + 50e — 20° lui de la réduction , après avoir attribué 7 sk Fe n pe le signe au premier terme de chaque tri- ee — nome. .

95. Proposons-nous de soustraire b— c de a ; il est certain qu’on ne changera pas la différence cherchée, en ajoutant c à ces deux nombres ; ainsi b — c deviendra b, a sera changé en a + c; soustrayant bdea—+c,ona

a —(b—c) = a + ce — b.

On voit en effet (n° 4) que si l’on ajoute a Æ c — b à b—c, on retrouve a. Donc, pour soustraire un polynome, il faut en changer tous les signes, et réduire, s’il y a lieu. Par exemple,

&ab — 3bc 4ab — 5c? + bc ba? — 5ac — (92ab — 6bc) — ( ab — c? — 2bc) — (2a?2 — 5ac) &ab — 35bc 4ab — 35c2 + bc ba2 —.5ac — 9ab + 6be — ab + c€c2 + 2be — 9a?2 + 5ac 2ab + 3bc 5ab — 2c2 + 5bc 3a?2

On remarquera que, si le premier terme ne porte aucun signe, il fant lui attribuer le signe H., afin de rendre applicable la règle ci-dessus à ce terme comme aux autres. C’est ce qu’on fera aussi dans la multiplication et la division, d'après le même motif.

De la Multiplication.

96. La multiplication des monomes ne donne lieu à aucune difficulté : car soit 4ab X 5cd, en changeant l’ordre des facteurs, on a 4.5.ab.cd ou 20 abcd. S'il y à des exposants, comme a? X a, en revenant aux principes, on trouve aa X aaa ou aaaaa — a, de sorte qu'on a ajouté les exposants 2 et 3. De même, 84h? X 4a‘b — 32a7b4. En général, pour multiplier des monomes, on multipliera leurs coefficients, on ajoutera les exposants qui affectent les mêmes lettres ; enfin , on écrira à la suite les unes des autres les lettres différentes. On attribue l’exposant 1 aux lettres qui n’en ont pas.

Multiplions maintenant & —- b par ce L d, ce a + b qu’on indique par (a + b) X (cd). Il est évi-

C + d Fr. = D — y dent que pour répéter a b autant de fois qu'il y + ad +bd a d'unités dans c + d, il faut prendre & — b, c fois, puis d fois, et ajouter. Mais pour prendre c fois a —+-b, il faut multiplier séparément a et b par c, de sorte que (a + b) X c—ac+ bc, (ab) X d = ad +- bd, ce qui donne le

produit ac + bc + ad + bd.

Mulüplions a — b par c. En prenant le produit ac 4 — Ÿ de a par c, on est supposé avoir ajouté ç fois a ; mais — y; ilfallait multiplier, non pas a, mais &« — b par c ; chaque fois qu’on a ajouté 4, on a pris une quantité trop grande de b unités, de sorté que le produit ac doit être diminué

de b pris autant de fois qu'on à répété a, on c fois. Otons donc bc de ac, et nous aurons (a — b) X c — ac — bc.

Pour multiplier a — b par e — d, on fait d’a- 4 — b bord le calcul précédent ; mais au lieu de répéter nm —.4 4 :

———— a— b, c fois, il ne fallait prendre a — b que ac — bc

— ad +ba (ec — d) fois : on a donc pris d fois de trop (a — b); ainsi, du produit précédent ac — bc, il faut retrancher celui de a — b par d, ou ad—bd, ce qui donne (n° 95)

(a — b) X (ce — d) = ac — be — ad +- bd.

La multiplication de tout polynome peut toujours être ramenée à ce dernier cas, en représentant par a et c les sommes des termes positifs de chaque facteur, et par b et d celle des négatifs; on retombe ensuite sur le premier cas, quand il s’agit d’assigner les valeurs de ac, de bc... En observant ce qui vient d’être développé, on voit que chaque terme du multiplicande a été multiplié sépa rément par chacun de ceux du multiplicateur : en outre, quand les deux facteurs partiels monomes ont eu des signes différents, leur produit a reçu le signe — , tandis que dans le cas contraire on à mis le signe +.

Concluons de là que le produit de deux polynomes se trouve en multipliant chaque terme de l’un par tous ceux de l’autre, d’après la règle donnée pour les monomes ; puis on prend chaque produit partiel négativement lorsque ses facteurs ont des signes contraires, et positivement lorsqu'ils sont de même signe (tous deux —-, ou tous deux —) *. On doit affecter du signe — le premier terme, lorsqu'il n'en porte aucun , comme n° 95.

* On a coutume de dire que la multiplication comporte quatre règles, pour les coeficients, les lettres, les exposants et les signes. Les premières ont été données pour les monomes ; la quatrième s'exprime ainsi :