INÉGALITÉS

Sim — n, x et y sont infinis, et le problème est absurde : ce qui vient de ce que les courriers, ayant la même vitesse, ne peuvent satisfaire à la condition prescrite. Cependant si d = À, x et y sont ©, et il y a une infinité de points de rencontre ; en effet, les mobiles partent du même point sans que leur distance change.

Des Inégalités.

115. Les expressions où entre le signe > pour marquer quelle est la plus grande de deux quantités, sont des inégalités. La différence demeurant la même lorsqu'on y ajoute ou qu'on en ôte le même nombre ,on peut, sans troubler une inégalité, ajouter aux deux membres, ou en Üter des quantités égales, et par conséquent les soumettre aux mêmes calculs que les équations (n° 105), c’est-à-dire en multiplier ou diviser tous les termes par un même nombre, et transposer quelque terme en changeant son signe. Soit 3x —7 œx—<+1l; ajoutons 7 aux deux membres, puis retranchons-en x, nous avons 8x — x > 1147, ou 25 > 18; d'oùx > 9. Cette question, Trouver un nombre dont le triple, diminué de 7, donne un excès qui surpasse ce nombre plus 11, a une infinité de solutions, puisque toute quantité > 9 y satisfait.

Plusieurs inégalités, renfermant x, donnent chacune une limite de cette inconnue ; or, 1° si ces limites sont dans le même sens, comme æ > 9etx > 7, alorsil y a une des inégalités qui dispense d’avoir égard aux autres ; 2° si les limites sont dans des sens opposés, comme # > 9 et x < 15, alors on ne peut prendre pour x que les valeurs intermédiaires. Il se peut même queces limites s’excluent mutuellement , comme x > #4 et x <° 3, alors le problème est absurde, et renferme des conditions contradictoires.

Quel est le nombre, plus grand que 15, dont le triple, plus 1, est moindre que le double plus 20; et tel en outre que, diminué de 1 et augmenté de 3, le quotient de cette différence par cette somme surpasse + ? Ces conditions s’écrivent ainsi :

On en tire # > 15, x < 19 et x > 17. Il est clair que le nombre devant être compris entre 17 et 19, la 1re condition donnée est inu-

tile ; et l’on peut prendre pour x, 17 +, 172...., et un nombre infini d’autres valeurs. Mais si x doit être entier, le problème ne comporte que cette solution x = 18.

Quand on a a < beta << b’, on entire visiblement

aa <b+D, a—bP<b—a, aa < bp,

a bn Va<Vb;

donc, on peut ajouter, multiplier membre à membre , deux inégalités dont le signe est dans le même sens ; former les puissances, extraire les racines, en conservant les mêmes signes d’inégalité : on peut soustraire ou diviser membre à membre deux inégalités dont les signes sont inverses, en conservant le signe de l’inégalité qui a fourni les dividendes.

L'expression a non > b, qui désigne que «a ne peut ètre plus

me —

grand que b, s'écrit souvent ainsi a £ b; elleest soumise aux mêmes

calculs que les inégalités simples. Parexemple, quel est le nombre dont le triple diminué de 2 ne peut être moindre que 7 , et dont le décuple moins 1, ne peut surpasser 11 plus 6 fois ce nombre? Ces conditions s’écrivent ainsi :

Se— 257, 10 —1211 +6,

ere |

d’où DE Ni LS 10%— 6x ARS

ainsi, æ —= ou > 8,etz— ou < 8, ou plutôt x = 38.

116. Nous terminerons par une remarque importante. Faisons varier x dans 4 — x. À mesure que x croît pour s'approcher de a, a— x, qui est positif, diminue, et devient enfin nul lorsque x = a : si + continue de croître, «a — x devient négatif. Nous exprimerons ces circonstances en écrivant a — x >> 0, tant que a — x est posi-

üf; et a — x <[ 0, dès que x surpasse a. Ce n’est pas qu’en effetil puisse y avoir des quantités moindres que zéro ; mais il est visible que si l’on convient qu’on träitera à l’avenir ces inégalités à la manière des équations, l’une donnera a > x, et l’autre a < x ; et ce ne sera qu'une façon d'écrire que & — x est positif dans un cas, et est

négatif dans l’autre. Nous regarderons donc les quantités négatives comme moindres que zéro, et les positives comme plus grandes que zéro ; ce qui n’est en effet qu’une convention doter pour faciliter je calculs.

Comme a — x > 0 donne — x > 4, et a ns +, On voit qu'on n'est pas en droit de changer les signes de tous les termes d’une inégalité, à moins qu'on ne change aussi > en <, ou réciproquement ; on: ne peut non plus multiplier une inégalité par une valeur négative, sans le même changement : ce qui établit, dans les calculs, une différence importante entre le mécanisme propre aux inégalités et celui qui convient aux équations : 1, 2, 3... sont des quantités croissantes ; et — 1,— 2, — 3... sont décroissantes ; on a

4<5et—4>—5.

Des Problèmes indétermines.

117. Lorsqu'on n’a pas un nombreëgal d'équations et d’inconnues, il peut arriver deux cas :

1er cas. S’ily a plus d’inconnues que d’équ., le problème est indéterminé, puisqu'on peut disposer arbitrairement de quelques inconnues, afin qu'il n’en reste plus qu’un nombre égal à celui des équ. : l'élimination fait alors connaître ces dernières inconnues. Les valeurs qui satisfont aux équ., ou au problème dont ces équ. expriment les conditions, sont donc en nombre infini. Cherchons, par exemple, deux nombres x et z, dont la somme soit 70 ; il faudra trouver deux quantités qui satisfassent à l’équ. unique PA = 70; d’où x — 70— 3. On voit que x ne peut être connu qu’autant que z est donné ; et si l’on met tour à tour 1, 2,3 +... pour z, on trou- VErA Z — 69, 68, 66<....; donc 1 et 69, 2, : 68, 8 = et 66 =... remplissent la condition exigée, ainsi qu’une infinité de nombres tant entiers que fractionnaires.

Soient demandés troisnombres x, y, 3, dont la somme soit 105, et dont les différences deux à deuxsoient égales : onax—yz—105, æx—y—y—z, C'est-à-dire trois inconnues et seulement deux équ. Ce cas revient au précédent ; car, en retranchant ces équ. pour en éliminer x, il vient y — 35, d'où æ + z— 70. On fera donc z ou x égal à telle grandeur qu’on voudra; l’autre inconnue

s’en déduira , et ces nombres, concurremment avec y — 85, seront des solutions de la question.

Soit encore l’équation 2° — ax = y — ay;on en tire . . . .

a — y ay — ax = 0 ; et comme 2°? — va “4 y) (x — y), äl vient (& y) (3 —y) — a (x —y)=0, ou(r —y)(x+y—a)—=0. Ce produit ne peut être nul, à moins que l’un ai facteurs ne le soit; on a donc, à volonté, l’une des équ. x — y ou x = a — y. En attribuant à y toutes les valeurs possibles, il en résultera des valeurs de x qui seules satisfont au problème : il suffit que les deux inconnues soient égales, ou bien que leur somme soit = 4, ce qui arrive d’une infinité de manières.

La Règle d’alliage peut rentrer dans cette théorie.

1° Supposons qu’on mêle ensemble deux substances qui n'éprouvent pas d'action chimique; soient p et q les prix de l’unité de mesure pour chacune ; le prix total du mélange est px <- qy, en désignant par x et y les nombres d’unités mélangées. Mais le tout est composé de x + y unités; donc le prix de chacune est

PS nr DRE (F) TL Y Ainsi 8 bouteilles de vin à 164 le litre, et 12 à 105, font 20 bouteilles , dont le prix est 8 X 15 + 12 X 10 — 240; donc le prix de chacune est 2, ou 124. - On a un lingot d’or formé de 4 kil. à 0 ,95 de fin * , et de 5 kil. à 0,86 ; quel est le titre du mélange? La formule ci-dessus donne

__4 X 0,98 + 5 X 0,86 :æ LE

2° Réciproquement , si l'on demande quelle doit être la composition du mélange, la valeur moyenne étant donnée, on cherche

* Lorsque l'or ou l'argent contiennent o, 1 d’alliage, et que le reste est pur, on dit que le métal est à 0,9 de fin. Autrefois le degré de pureté s’estimait différemment : on partageait par la pensée le lingot d’or en 24 parties, qu'on nommait karats, de sorte que l'or à 21 karats contenait 3 parties d’alliage et 21 d’or pur. Le karat se divisait en 32 parties

. . . po r + . . . 20 , 13

ou grains ; ainsi l'on désignait par 18 karats 20 grains, 18 parties 3 d'or pur, et 5 Er

d’alliage. L'argent se divisait en 12 parties ou deniers, chacune de 24 grains ; ainsi un

lingot d'argent à 10 deniers 20 grains contenait 10 parties — de métal pur et 1z 24,

d'alliage.

PROBLÈMES INDÉTERMINES. 155

les quantités x et y, connaissant les prix p, q et z; alors l’équation F contient deux inconnues, et le problème est indéterminé.

On a x — (—) y; ainsi l’on y satisfait en prenant P

DE —g y—=p—5;.

z est d’ailleurs intermédiaire entre pet qg. On pourra, outre ces valeurs, en trouver une infinité d’autres, en les multipliant ou divisant par un même nombre quelconque : on aura par là toutes les solutions entières de la question, si l’on veut que ce facteur, et z, p et q soient entiers (n° 118).

Un boulanger, par exemple, veut faire du pain qui revienne à 85 le kilogramme; combien doit-il mêler de farine de blé à 105, et de seigle à. 7$ le kilogramme ? Après avoir écrit ces 8 nombres, comme on Prix moyen 8 { le voit ci-contre, on mettra 8 — 7, ou 1, à côté de 10; puis 10 — 8, ou 2, près de 7. Ainsi, 1 kilogramme de farine de blé sur 2 de seigle , répondent au problème. On peut aussi prendre 2 sur 4, ou 38 sur 6, etc.

Si l’on donnait une seconde condition pour déterminer le problème, on la traduirait algébriquement , et l’on éliminerait x et y entre l’équ. (F) et cette dernière. Ainsi, lorsque la quantité x + y du mélange est donnée = ", alors on a

ZT Yy— M, etpx + qy = 5m;

m m d'où Tu ———————— (7 — — ; ? à, gh y P q

Après avoir obtenu les valeurs ci-dessus, on les multipliera donc

| m D MA Ë par ————. Dans notre exemple, si l’on veut que le mélange des

10%,1;::Di6 7...2...Seigle.

farines pèse 21 kil., on multipliera les résultats obtenus 1 et 2,

par “PEER 7; de sorte que 7 kilogr. de farine de blé à 104,

mélés à 14 de seigle à 75, forment 21 kil. de farine à 84. De même, soit demandé de for-

mer 7,54 kil. d'argent à 0,9 de 0,97...0,06 X De = 3,48 finavec de l'argent à 0,97et10,84. 0,9 ;

RIT ”; | 1.007 x LE — 4,06 L'opération prouve qu’il faut 34,48 0,84... ET

de la première, et 4,06 de la seconde espèce.

On appliquera facilement cette théorie au cas où l'on voudrait mêler ensemble plus de deux substances.

2e cas. Si l’on a, au contraire, plus d’équ. que d’inconnues, le problème est plus que déterminé, c’est-à-dire que si l’on élimine toutes les inconnues, il restera, entre les données, un certain nombre d’équ. auxquelles elles devront satisfaire, et qu’on nomme, pour cette raison , équations de condition : si elles ne sont pas satisfaites, la question est absurde ; et si elles le sont, plusieurs conditions rentrent dans les autres ; les conditions sont en nombre égal à celui des inconnues, et sont exprimées par autant d’équ. distinctes, auxquelles les proposées se réduisent.

Cherchons deux nombres x et y, dont la somme soit s, la différence d et le produit p:ouxLy=s, x—y = d et xy = p. Les deux premières équations donnent (n° 106, III) x = + (s + d), y — =(s— d); substituant dans la troisième, on trouve 4p = s—4d?. Si les données s, d et p ne satisfont pas à cette relation, le problème est impossible ; et si elle subsiste, l’une des équ. données est inutile, comme exprimant une condition qui a lieu d’elle-même, et est comprise dans les deux autres.

Quelle est la fraction qui , lorsqu'on ajoute »# à son numérateur,

devient — 7 et qui est =}; lorsqu'on ajoute »#’ à son dénomina-

teur? En désignant par x et y les deux termes, on a

L’élimination donne (ab — a'b)x= a (bm<+am), (ab — ab)y = b (bm Lam);

mais + et y sont entiers ; donc, ou ab — ab — +1, ou bien ce binome divise les seconds membres. On a donc une condition, sans laquelle ce problème est impossible, quoiqu'on ait eu autant d'équ. que d’inconnues.

118. Cherchons tous les systèmes de valeurs entières de x et y qui satisfont à l’équ. indéterminée