En traitant de la même manière les équations

ax +by<+Loez d - dx + by + cz ax . by = c''z ee. d''

qui sont les plus générales à trois inconnues, on trouverait les valeurs de x, yet 3. Mais ce calcul ne permettrait pas de découvrir la loi des résultats sans recourir à l’induction; c’est pourquoi nous le présenterons d’une manière un peu différente. Multiplions la première par k, la deuxième par #”, et de la somme de ces produits retranchons la troisième, il viendra

(Ba Wa — à!) x + (kb KE — b')y HE (ke We — c') sd EL Wd — d”.

[Ml

Les nombres # et k’ étant arbitraires, on peut leur attribuer des valeurs propres à chasser deux inconnues, y et z, par exemple. On posera pour cela les équ.

kb Kb =D", ke kco—c",..,...(D) ui serviront à faire connaître k et £’: et l’on aura q ?

kd-L K'd'— d” Sr TT Re D

Il faut ensuite déterminer k et #’, et en substituer ici les valeurs; mais on peut abréger beaucoup ce calcul. En effet , le numérateur de x se déduit du dénominateur, en changeant a, a’, a”, en d, d’,d”; et comme # et #’ sont indépendants de ces quantités, la même chose aura lieu également après la substitution des valeurs de k et 4”.

Il s’agit donc d’évaluer le dénominateur, puisque le numérateur s’en déduit en changeant simplement les. a en d; les formules 2 appliquées aux équ. D donnent b'e! — cb" cb" — bc”

k — LA 77 Que A TRES CD'AERE | ch — bc?

2 pui, De! — cb) + (cb! — be’) Pete phemant d'où ka - ka — a PER

On réduira au même dénominateur, qu’on supprimera comme étant commun aux deux termes de la fraction £, et l’on aura, pour le dénominateur cherché,

K — 0 (b'c” Ex c'b") + a (cb” ps bc”) -| a (bc’ din cb”).

En faisant attention à la manière dont il faut exécuter ces multiplications, on observera que le calcul se réduit à l’opération suivante. On prendra la différence be — cb, entre les deux arrangements des lettres b et c; puis on PTE la lettre a à toutes les places, en commençant par la première à gauche, et changeant de signe chaque fois que, « changera de place ; bc engendrera abc, — bac et bca; —cb donnera — acb, —-cab et — cha. Enfin, on réunira ces six termes, et l’on marquera d’un trait la seconde lettre de chacun, et de deux la dernière ; le dénominateur X est donc

K ee ab'c'’ 2 74 o! —- bc'a 4 LE. ac'b" un cab" su cb’ (fe

Pour trouver y, il faudrait égaler pareillement à zéro les coefcients de x et z dans l’équation ci-dessus; mais la symétrie des calculs prouve qu’il suffit de changer b en 4, et réciproquement dans la valeur de x. On changerait c en a pour la valeur de 3. Concluons de là que , 1° le dénominateur des valeurs de x, y et z, est le même; 2° le numérateur de chacune se déduit du dénominateur , en changeant les coefficients de l’inconnue en les termes connus. Ainsi,

db'e" — bd'e” + bc'd” — dc'b" + cd'b" — cb'd"

ad'c' — a c’’ - dc’a 12 ANR PS ac'd'' — cad’ A" cd'a’’ Li K ; ab'd" — bad” + bd'a” — ad b7 — da’ b” — db'a” nes RO LT OU ne LU à ue UP à ei

La loi que nous avons démontrée suit de la nature même du calcul ; en sorte que si l’on a quatre inconnues et quatre équ.,

as + by est = f, de + by +ds+dt= fete,

MATHÉM, PURES. T. I. 19

il suffira de chercher le dénominateur commun, et l’on en déduira chaque numérateur ; de plus, ce dénominateur sera formé suivant la même loi.

On prend donc les six arrangements des lettres abc qui servent de dénominateur ci-dessus (en supprimant les accents), ou abc — bac +- bca — etc. : on fait occuper à la lettre d, dans chacun de ces termes, toutes les places, à commencer par la première à gauche ; puis on change de signe chaque fois que d passe d’une place à la suivante ; enfin on marque d’un trait la deuxième lettre, la troisième de deux et la dernière de trois : le dénominateur commun est

da’b'c”’-— ad'b''e""+ ab'd'c!’ L:AU ab'c''d''"— db'a”c Ce bd'a 44 c!’ — etc. 254

Voici quelques problèmes :

I. Une personne a des jetons dans ses mains; si elle en porte un de la droite dans la gauche, il y en aura un nombre égal dans chacune ; mais si elle en passe deux de la gauche dans la droite, celle-ci en contiendra le double de l’autre : on demande combien chaque main en contient. On trouve

g—1—y+1,etr L2—2(y —2); d'ou x — 10, ety— 8.

IT. On a acheté trois bijoux dont on demande les prix ; on sait que celui du premier, plus la moitié du prix des deux autres, fait 25 louis; le prix du deuxième, plus le tiers du prix du premier et du troisième, fait 26 louis ; enfin le prix du troisième, plus la moitié du prix des deux autres, fait 29 louis. On a |

sg +iy+tss= 25, y+ir+ksz= 26,24 5x; y—99; d'où l'ontire x — 8, 15% 18,45 16;

IT. 4, Bet C ont un certain nombre d’écus ; 4 distribuant des siens à B et C, leur en donne autant qu’ils en avaient déjà ; B double à son tour ceux qui restent à À et ceux que C a entre les mains; enfin C distribuant à 4 et B, double pareïllement les nombres qu’ils se trouvent avoir ; tout cela fait, chacun en a 16 ; on demande combien ils en avaient d’abord. x, y et z désignant les nombres d’écus respectifs de 4, B et C, avant ces distributions, on trouve ces équ.

m—y—2—=4, 3y—x—3:—8, 73—% —y—16, d'où l’on tirer. = 20,07 = 14,2 18.

112. Il arrive quelquefois qu’une équation ne peut exister à moins qu’elle ne se partage en deux autres; ainsi # + y — 0, suppose æ — 0 et y— 0, puisque deux carrés étant positifs, l’un ne peut détruire l’autre, et rendre la somme nulle. De même . . . . (x — 1}° + (y — 2} — 0, donne x — 1, et y — 2; et quoiqu'il n’y ait qu'une seule équ., c’est comme s'il y en avait deux. Il faut en dire autant de la question suivante, qui n’a qu’une seule condition. Trouver deux nombres tels, que si l’on ajoute 9 au carré de l’un et à 5 fois le carré de l’autre, le résultat soit le produit du double du second nombre, par 3 plus le double du premier. On a

Be y + 9 — 2e (2y + 8),

qui revient à 42? — 4xy + y + à — 6x + 9 — 0, ou (2x — y} + (x — 3) = 0; donc 2x — y —0, etx—8 — 0; partant x —3,et y — 6.

C'est par la même raison que l'équation 2° y + 1— 0 est absurde.

113. Voici un cas bien remarquable dans lequel une équation se partage en deux.

Supposons que les éléments d’une question soient liés par l'équation Aa B + 8; que plusieurs de ces éléments soient variables ensemble, et que l'équation doive subsister dans tous leurs états possibles de grandeur ; qu’enfin quelques termes À, B, demeurent constants, tandis que les autres «, B, seraient variables et susceptibles de décroitre ensemble autant qu’on le veut ; cette équation se partage en deux, l’une

— B entre les termes constants ; l’autre x — B entre les termes variables, laquelle aura lieu pour toutes les grandeurs que la question permet d'attribuer à la fois à « et B. En effet, si lon admet que les constantes 4 et B ne sont pas égales, leur différence étant X, ou 4A—B—+K,on entire B— x — + Æ; les variables Bet x conserveraient dont entre elles une différence fixe XÆ, et ne seraient pas de nature à pouvoir être moindres que Æ, ce qui est contraire à l'hypothèse.

C'est ce principe qui constitue Ja mÉTHODE DES LIMITES , dont nous ferons un fréquent usage par la suite. Quand on peut faire approcher une grandeur variable À — x d’une autre À qui est fixe , de manière à rendre leur différence x moindre que toute grandeur donnée, sans rependant qu'elles puissent jamais devenir rigoureusement égales, la

seconde À est dite xumie de la première À — x. Au reste, chaque fois que nous appliquerons ce théorème, on fera bien de s'exercer à reproduire le raisonnement ci-dessus, afin de répandre sur les résultats la clarté convenable ; nous exhortons les étudiants à se soumettre à ce conseil, dont ils reconnaitront l'utilité. En voici deux applications, propres à montrer la marche du calcul et du raisonnement : +

I. Soient V/a et y b deux incommensurables, z et # leurs valeurs approchées, x et y les différences qui existent entre ces valeurs et les radicaux;onaz=y a— x,i—=4y/ b—4y;or, les produits rationnels z X 4 et ét X z sont égaux: donc,

VaXVb+ta=ViXVa+B,

en représentant par « et B tous les termes où x et y sont facteurs dans chaque membre. Observez que si l’on pousse davantage l’approximation, les erreurs y et x décroîtront, et cela autant qu’on voudra, . sans que cette équ. cesse d’avoir lieu; les facteurs J/ a, |/ b demeurant invariables, « et 8 décroîtront indéfiniment; donc l'équation se partage en deux, WaXVb=ybX /a, eta— B; c'està-dire qu'on peut aussi bien intervertir l’ordre des facteurs irrationnels que celui des rationnels.

II. Soit demandée la valeur S de la fraction décimale périodique 0,[54], d’après la notation du n° 51. En ne prenant que deux fois la période, et. représentant par k la valeur des fractions négligées , on a $ — k — 0,5454; multiplions par 100, nous aurons 100$ — 100% — 54,54 ; et retranchant, 99$ — 99% — 54 __ -51

LE à 10000°

Mais si l’on eût pris trois ou quatre fois la période, ce dernier terme fût deven k Den it qu’ | i iCroi ut deve U 50 > OU 700% > Ainsi, l'on voit qu’on peut faire décroître

indéfiniment ce terme, en même temps que l’erreur 4, en prenant la période un plus grand nombre de fois; on peut donc donner à l'équation la forme 99S— x — 54 — B; d’où l’on tire 995 — 54, et S— À, comme on le sait déjà. On a en outre « — B, quelque nombre de périodes qu'on ait considéré ; en effet, si l’on prend la période deux fois, par exemple 4 — 0,0000[54],

d'où, 100% —0,[54] — 5%, et 994 — 51, ou x = B.

Soit $ — 0,[p], la période p étant composée de # chiffres, on

A PLUSIEURS INCONNUES. - 149 a 10"S = p,{p]; et par le même raisonnement (10 — 1) S—p, d'où S$ — TON ET PE 17 TS turc rame m 53, 8°.

114. Les formules d'élimination (B) présentent quelques particularités qu'il convient d'examiner. Tant que ces valeurs de x et y sont positives, la solution résulte de ces formules; et il n'ya ni doute, ni difficulté. Mais il peut en être autrement, ce qui conduit à trois cas d'exception de nos équ. (B) :

1° x ou y peut être négatif; alors le problème , tel qu’il est proposé, est absurde , et on peut le rendre possible à l'aide d’une simple modification qu’on trouve en changeant cette inconnue de signe dans les équ. (4) : le calcul réduit en effet la question à n'avoir qu’une seule inconnue, et l’on est ramené à ce qui à été dit (n° 107).

2° Lorsque les formules (B) sont infinies, les coefficients ont des valeurs numériques telles, qu'il en résulte ab — ab — 0,

den Pour connaitre alors la nature de la question il faut a

; ik ; b introduire cette condition dans les équ. (4); mettons donc .

ab’

cas présent ait lieu, il faut que les équations proposées soient

| b c tre elles qu’autant que b'e — bc, ou FR dre vs Cette relation

peut être satisfaite, ou ne pas l'être ; si elle n’a pas lieu, le problème est absurde, puisque les conditions de la question sont contradictoires : cette circonstance est annoncée par des valeurs de x et y infinies. Alors les coeflicients forment une proportion & : & :! b : b',à laquelle le rapport des termes connus c et c’ ne peut faire suite.

8° Mais si, outre la relation qui rend le dénominateur nul,

ad’ f b’ c’ , | \# d!

QU + — 7, ON à ENCOre — ——, les deux équations (A) n’équivalent plus qu’à une seule, les deux conditions de la question rentrent l’une dans l’autre ; et comme on n’a qu'une équation et deux inconnues , le problème est indéterminé (n° 117). Cela arrive quand les coeflicients de l’équation forment trois rapports égaux entre eux, & : à :: b : b :: © : c’; et attendu qu'on a aussi ac == ac’,

our a’, la seconde devient zx by — c’: donc pour que le P - y P q

ce cas est mis en évidence par des valeurs de x ety qui ont la forme *.

Prenons pour exemple ce problème : Deux courriers partent l’un de 4, l’autre de B, et vont dans le même sens 4C; le premier fait n kilomètres par heure, le: second m; la distance initiale est AB = d; cherchons à quel instant les courriers se trouveront à la distance CD — k l’un de l’autre. 4 parcourt la distance 4C = x

4 : x dans une durée qu’on trouve par la proportion m : 1 :: x: —; de L/12

même 2. est le temps que B met à parcourir BD — y. Si les mo-

biles sont en même temps, l’un en C, l’autre en D, ces fractions sont égales, d’où nx — my. Mais, d’un autre côté,

donc l'élimination donne

x — "(d— À) n (d —k) RE TT NS EEE, à sde fa æ d —k C'est ce qui arrive dans le nombre d'heures — — 1 — > m n Mm— nn

En faisant 4 — 0, on a le lieu et l'instant de la rencontre des deux courriers.

Mais les mobiles seront encore distants de À, après que Z aura dépassé B : alors ils auront parcouru l’un 4C'—x, l’autre BD'=Y, et on aura # — k = y +- d'; il suflit donc de changer le signe de k dans nos équ. C’est une seconde solution du problème.

Pour donner à cette analyse plus de généralité, il faut supposer que les courriers sont en route depuis quelque temps, et que A et B sont des points où ils se trouvent ensemble. Et si la valeur de y est négative, comme cela arrive quand m <°n et d © k, cela annonce que le lieu du 2° courrier est situé à gauche de B, quand sa distance au 1% est — £ ; l'instant est antérieur à l’arrivée en B.

Quand les courriers marchent en sens contraire, il suflira de prendre »# et y négatifs, ainsi qu’on peut s’en assurer directement. Voyez ce qui sera dit ci-après sur l'emploi des signes négatifs en géométrie. . |