Soit 1 étant g, on a les #7 — 1 équations

CRT TAN.) 18 T'ANON

D aq; Cadet." 110;

or, en les multipliant et supprimant les facteurs communs, il vient Η ag"—*, comme n° 86 ; c'est le terme général. On peut toujours donner à une progression la forme

—aïagiag :ag*.... ag";

donc les puissances entières et successives d'une même quantité q sont en progression par quotient. Îl en est de même de toute série de termes dont les exposants sont en progression par différence, telle que ba" bath LE bymteh L,,,, Celle-ci revient à la 1'° en faisant a— bz", q — 2".

Ajoutant nos n — 1 équations,il vient

(bo+d... Li =(a+b+e....+i)g.

Or, en désignant par s Île terme somimatoire, on a b+tco+d....Ll=s—a, a+b+c..,, +i=s—|;

lg — a Lau

donc, s—a—(s—|)q,ous—

* Si la progression est décroissante, tout ceci est également vrai, seulement q <° 1. Mais à mesure que la série se prolonge, la somme s des termes que l’on considère s'approche de plus en plus de celle S

de la progression entière : soit x la différence S$ — s, qui est indéfiniment décroissante ; de plus le dernier terme / devient en même temps aussi petit qu'on veut, posons (n° 113) ;

lq ’ % a a B= -——, d'où S — @ — > — B, et S —

On a donc encore comme p. 123, la somme totale d’une progression infinie, dont le 1°" terme est a, et la raison q <° 1. Il est visible que notre raisonnement revient à avoir posé / — 0, comme désignant une quantité infiniment petite.

On rapporte qu’un souverain voulant récompenser Sessa, inventeur du jeu des échecs, lui accorda un présent que sa générosité trouvait, trop modique : c'était autant de grains de blé qu'ily a d'unités dans la somme de la progression double 1 : 2 : 4 :8 : 16... étendue jusqu’au 64° terme, attendu que l’échiquier a 64 cases. . Cherchons quelle est cette somme. Onaa—=1,q—2,n— 64; d’où / = 2% et s — 264 — 1. Cette puissance a été calculée p. 70, et l’on trouve que s — 18446774 suivi de 12 autres chiffres. Or, un kilogramme de blé ordinaire contient à peu’près 26150 grains, et l’on sait qu'un hectare ne produit guère que 1750 kilosrammes de froment, savoir 45 762 500 grains. En divisant s par ce nombre, on trouve que Sessa demandait le produit en blé de 403 milliards d'hectares environ, c’est-à-dire 8 fois la surface entière du globe terrestre, en y comprenant les mers, les lacs, les déserts, etc.

Les équ. l= ag", s— a—(s —l)q servent à résoudre tous les problèmes où, connaissant trois des cinq nombres a, !, n, qet s, on demande les deux autres. Du reste, les calculs qu’il faut exécuter ne sont quelquefois praticables que par des méthodes qui ne sont exposées que dans ce qui suivra. Par exemple, a, n et s étant donnés, on ne peut obtenir g qu’en résolvant l'équation ag" — sq s — a, qui est du degré n. Lorsque lexposant » est inconnu, /, a et q étant donnés, on doit recourir à la doctrine des log., n° 147, 30. |

Des Logarithmes.

145, Faisons varier x dans l’équ. y — a”, et observons les variations correspondantes de y.

1 Si a > 1,en faisantz —0,onay=1l;x— 1, donc y= a. À mesure que # croîtra depuis 0 jusqu’à 1, et de là à l'infini, y croîitra de 1 vers a, et ensuite à l'infini; de sorteque quand x passe par toutes les valeurs intermédiaires, en suivant la loi de continuité, y croît aussi, quoique bien plus rapidement. Si l’on prend pour x des

. Il . L valeurs négatives, on ay = a”, ou (n° 131) y — —. Ainsi, plus x

a croit, et plus cette fraction y décroit; de sorte qu’à mesure que x augmente négativement, y décroit de 1 vers 0; y — 0 répond à x infini.

do Si a << 1,on fera a =; bsera > 1, et l’on aura VE ou y — b", suivant qu'on prendra x positif ou négatif. On retombe donc sur le même cas, avec cette différence que x est positif lorsque y < 1, et négatif pour y > 1.

8° Sia— 1l,onay—= 1 quel que soit x.

Pourvu que a soit autre que l'unité , on peut donc dire qu’il y a toujours une valeur pour x qui rend a égal à un nombre donné quelconque y. L'usage perpétuel qu’on fait des belles propriétés de l’équation y — a* exige qu'on fixe des dénominations à ses parties, afin d'éviter les circonlocutions. On nomme x le logarithme du nombre y ; la quantité arbitraire et invariable a est la base. Donc le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever la base pour produire ce nombre.

Lorsqu'on écrit x — Log y, pour désigner que x est le logarithme du nombre y, ou que y — a", la base a est sous-entendue , parce qu’une fois choisie, elle est supposée demeurer fixe. Mais si on la change, on doit indiquer la nouvelle base, c’est-à-dire de quel système de logarithmes il s'agit. C’est ainsi que 10° — 1000, 25 — 32, indiquent que 8 est le logarithme de 1000, et que 5 est celui de 32; mais la base est 10 dans le 1° cas ; elle est 2 dans le second.