CORDES, TANGENTES

milieu E, ainsi que l'arc sous-tendu ADB (fig. 52). En effet, les obliques égales 4C, CB, prouvent que Æ est le milieu de 4B (n° 184); en pliant la figure suivant CD, le point 4 tombe en B ; AD se couche sur DB, ainsi D est le milieu de l'arc 4DB.

196. Le centre C, le milieu £ de la corde et celui D de l’are, étant en ligne droite, il s'ensuit que toute ligne CD qui passe par deux de ces points, passe aussi par le 3°, et est perpendiculaire à la corde AB. De plus, puisque par un point C, £ ou D, on ne peut mener qu’une seule perpendiculaire à 4 B, dès qu’une droite, passant par l’un de ces trois points, sera perpendiculaire à 4B , on'en conclura qu’elle passe par les deux autres. Donc, de ces quatre conditions, être perpendiculaire à une corde, passer son milieu, par le milieu de l’arc et par le centre, deux étant supposées, les deux autres s’ensuivent nécessairement. #

On peut, au reste, démontrer directement chacun des six cas

compris dans ce théorème , en le traitant comme celui qui nous à servi de base.

197. Pour diviser un arc ADB (fig. 52), ou un angle ACB en deux parties égales , il suffit d’abaisser la perpendiculaire CD sur la corde AB (n° 187). Comme par le même moyen on peut de nouveau faire la bissection de chaque moitié, etc., on sait diviser un arc ou un angle en 2, 4,6.... 2" parties égales (voy. n° 194).

198. Faire passer une circonférence de cercle par trois points donnés N, Bet D (fig. 53). Menons NB et BD, puis les perpendiculaires Z£, IF sur leurs milieux Æ et F. Chacun des points de HE est autant éloigné de N que de B ; ces points jouissent seuls de cette propriété : ainsi, tous les cercles passant par les points Net B ont leurs centrés sur la perpendiculaire ZE : de même, pour FJ relativement à B et D. Donc le point C où se coupent ZE et FI, est à la même distance de V, B et D, et remplit seul cette condition : ainsi C est le centre du cercle unique qui passe par les trois points.

Les perpendiculaires FI et HE ne se rencontreraient pas si les trois points V, B et D étaient en ligne droite (n° 191, 1°), et le problème serait impossible. Mais dans tout autre cas, FI coupera HE, puisque si FI et HE étaient parallèles, les droites BW, BD qui leur sont respectivement perpendiculaires, ne feraient qu’une seule et même ligne ; car sans cela on aurait deux perpendiculaires à HE partant de B, savoir NB et le prolongement de BD.

Observez que la perpendiculaire abaissée sur le milieu de la

corde VD, passe aussi par le point C, puisqu'il est à la même distance de A et de D; en sorte que les trois perpendiculaires doivent concourir en C, et qu’on détermine ce centre en se servant de deux quelconques des trois cordes NB, BD, ND.-

Donc, 1° deux cercles ne peuvent avoir trois points communs sans se confondre.

2° Ilest facile de trouver le centre d’un cercle ou d’un arc donné : il suffit d’y marquer trois points V, B et D, et de faire la construction qu’on vient d'indiquer.

199. Une droite ne peut couper un cercle en plus de deux points, puisque s’il y avait trois points communs, en y menant des rayons, on aurait trois obliques égales (n° 184, 3°).

Une ligne TG (fig. 54) qui ne rencontre le cercle qu’en un point F s'appelle Tangente.

Le rayon CF est perpendiculaire à la tangente en F : car tout autre point G de cette tangente étant hors du cercle, CGest > CE—CF; donc CF'est la plus courte distance de C à TG, c’est-à-dire que CF est perpendiculaire à TG (n° 184, 1°).

Réciproquement , si TG est perpendiculaire au rayon CF, cette droite TG est tangente au cercle. Car tout oblique CG étant > CF, tout autre point G de TG est hors du cercle.

Ainsi, pour mener une tangente en F'au cercle CA, il faut mener le rayon CF'et sa perpend. TG (n°° 188 et 212, I). |

200. Étant donnés deux points (fig. 85), l’un en À sur la droite AT, lautreenB,cherchons le cercle ABI qui passe en À et B, et qui touche la droite AT. 4B étant une corde, £F perpend. sur le milieu de 4B contient le centre C; ce centre est aussi sur 4G perpend. à AT, donc il est à l'intersection C. Ainsi, menant les perpend. G4à 47; et FE au milieu de 4, le point C de section sera le centre; le rayon sera 4C. j

201. Zes arcs AD, BE (fig. 54) compris entre deux cordes parallèles AB, DE, sont égaux. Car soit le rayon CF perpend. à ces deux cordes ; on a (n° 195) l'arc 4F — BFet DF = FE ; en soustrayant, il vient 4D — EB. Les deux cordes peuvent encore comprendre entre elles le centre C'; telles sont 4B et D'E" ; on a alors 4AF = FB, D'F'—F'E' ; en soustrayant ces deux équations de la demi-conconférence FAF'= FBF, il vient 4D'— BE.

La même chose a encore lieu pour une corde 4B et la tangente 7G qui lui est parallèle; car le rayon FC mené au point