PERPENDICULAIRES , OBLIQUES, PARALLÈLES

droit BCD est formée de n fois l'anglo BCA, tandis que n fois la bande CBEF est moindre que cette surface, ou n X BCAS n XBCEF, ou BCA > BCEF.

Ainsi, la droite CA suffisamment prolongée doit rencontrer EF quelque part et s'étendre au delà, puisque la bande BCEF ne peut contenir l’angle BCA, quelque petit qu’il soit. Toute droite CA qui fait avec CD un angle < un droit doit donc couper la perpendiculaire FE sur CD.

Donc, 1° Lorsque deux droites AB, CD (fig. 45) sont parallèles, la perpendiculaire LM menée à CD est aussi perpendiculaire à AB ; puisque sans cela AB devrait couper CD. Cela revient à dire que par un point L on ne peut mener qu’une seule parallèle à CD, savoir, AB perpendiculaire à LM.

2 Toute sécante EF qui coupe deux natale AB, CD, fait les angles correspondants égaux, EHB — HID ; les angles alternes-internes égaux, AHI — HID ; les angles hlspher-étiérhes égaux, EHB — CIF. En effet, du milieu K de KT, soit abaissé LM perpendiculaire sur les deux parallèles (1°) ; les deux triangles KIM, LKH seront égaux, à cause des angles droits Let M, des angles K opposés au sommet; et de KI — KH (constr.); donc l'angle LHK — KIM ; et comme ces angles sont opposés au sommet avec EHB, CIF, ces quatre angles sont égaux.

8° La somme des angles internes , ou des externes , d’un même côté, vaut deux droits : car AHTI + BHI — 2 droits, et AHI — HID (2°); donc BHI + HID — 2 droits. De même, EHB — HID, HID + FID —2 droits, donc EHB + FID = 2 droits.

4° Les angles que fait une sécante en coupant deux parallèles, sont égaux quand ils sont de même espèce , et supplémentaires quand lun est aiqu et l’autre obtus.

192. Il suit de là que 1° pour mener, par un point donné C (fix. 47), une droite CD parallèle à 4B, on pourra employer lune quelconque des six propriétés précédentes. Par exemple, d’un rayon quelconque CB et du centre C, on décrira un arc BJ ; puis du centre B l’are CH : enfin, on prendra l'arc BI — CA, et CI sera parallèle à 48, Car, en menant la sécante BC, les angles 4BC , BCI seront égaux (n° 177, 8°),

2° Deux droites AC, BD (fig. 48) parallèles à une troisième EF sont parallèles entre elles; car la perpendiculaire XJ à EF l’est aussi à ses parallèles 4Cet BD ; celles-ci ne se rencontrent donc pas (190).

3° Deux angles CAB, DEF (fig. 49) dont les côtés sont parallèles, et l'ouverture tournée du même sens, sont égaux : car prolongeant EF en G, les parallèles 4C, ED donnent l'angle DEF = CGF comme correspondants : à cause des parallèles 4B, GF, on a l'angle CGF— CAB; donc CAB = DEF, Si l'on prolonge un côté £F, les angles DEI et BAC, dont l'ouverture n'est pas tournée du même côté, ne sont plus égaux ; ces angles sont suppléments l’un de l’autre,

4° Deux parallèles AB, CD (fig. 47) sont partout équidistantes ; car de deux points quelconques 4 et B, et du milieu Æ de 4B, menons les perpendiculaires 4C, BD, EF sur 4B, elle$ le seront aussi sur CD ; or, en pliant la figure suivant £F, EB se couchera sur son égal E'A ; et à cause des angles droits, BD prendra la direction AC, et FD se couchera sur FC. Ainsi, le point D tombera sur C; d’où 4C = BD.

193. Les parties de deux parallèles AB, CD (fig. 50) énterceptées entre deux autres parallèles BD, AC, sont égales, car menant BC, on a deux triangles égaux ABC, DBC (le côté BC est commun et l'angle BCD— ABC, BCA — DBG, comme alternes-internes). Donc AB —CD et BD — AC. Le théorème précédent (4°) est un cas particulier de celui-ci. |

Réciproquement , si AB — CD et AC — BD, les deux triangles sont encore égaux, comme ayant leurs trois côtés respectivement égaux; d’où l’on tire angle DCB — ABC, CDB — BAC : donc AB est parallèle à à CD; AC lest à BD.

Enfin, si l'on suppose AB égal et parallèle à CD, AG " aussi égal et parallèle à BD , parce que les deux triangles sont encore égaux, etc.

194. Sur le côté KI (fig. 51) d'un angle donné IKC, soit pris un point quelconque E, et mené ED parallèle à KC; prenons KE — KF, et tirons KF. Dans le triangle isocèle KEF, l'angle EKF —F; mais F — FKC comme alternes-internes ; ainsi, KF coupe par moitiés l'angle IKC. De même, prenant FK — FD, l'angle DKC est moitié de FKC, ou le quart de IKC, ete. Cette construction sert à diviser l'angle IKC en 2, 4, 8.... 2” parties égales.

Des Perpendicularres et Parallèles considérées dans le cercle, et des Tangentes.

195. Tout rayon CD perpendiculaire à une corde AB, la coupe aw