On résout divers problèmes à l’aide de ce théorème

J. Abaisser une perpendiculaire AD (fig. 71) à l’extrémité d’une ligne AB sans la prolonger. Puisque l'angle À doit être droit, toute ligne BD doit êtrele diamètre d’un cercle passant en 4 (5°). On décrira donc, du centre quelconque €, un cercle qui passe en À; puis par le point. où ce cercle coupe 4B, on mènera le diamètre BD, qui donnera le point D; DA sera la perpend. cherchée.

IL..Par un point extérieur D, (fig. 73) mener une tangente AD au cercle CAB. Puisque l'angle CAD, formé par la tangente et le rayon, doit être droit, cet angle est inscrit dans le demi-cerele-dont CD . est le diamètre (5°). On-décrira: donc cette circonf. CADB ; elle ‘coupera le cercle proposé C4B au point de contact 4. On aura, outre la tangente 4D, une autre solution BD, et il est prouvé que ces deux lignes satisfont seules à la question.

Il. Partager l’angle quelconque. ACB (fig. 74) en trois parties égales. Traçons du sommet € le cercle ZF4B; concevons la ligne 40 tracée de manière à former l'angle O —< 4CB. L’angle ACB :est extérieur au triangle 4OC, d’où 30 = O0 + OAC'; et.04C = 2 O. Mais menant le rayon FC, le triangle isocèle FAC donne O4C = AFC; or l'angle 4FC, extérieur au triangle OFCy est — O0 + FCO = 04€= 20 :ilen résulte que l'angle FCO =.,0, et que le triangle #CO est, isocèle ; OF = le rayon CÆ du cercle.

Le.problème proposé consiste donc à savoir mener la droite 40 telle, que la partie extérieure OF" soit égale au rayon : l’angle O sera le tiers de l’angle 4CB, l'arc BG ou F1 le tiers de l’are 4B. Mais il n'appartient pas à la Géométrie élémentaire de donner des moyens de mener cette droite 40 : comme on n’y traite que des propriétés de la ligne droite et du cercle, on n’y emploie aussi que la règle et le compas ; on. verra d’ailleurs des moyens d'opérer la trisection de l'angle, ce qu’on ne peut faire ici que par tâtonnement.

IV. Décrire un cerele qui passe en deux points donnés B, £ (fig. 75), et qui soit tel, que les angles O inscrits soient égaux à un

angle donné À ; c’est ce qu’on appelle décrire sur une droite BE, un segment capable de l'angle À. La tangente en £ fera aussi l’angle BEK — 4 —= O (n°211, #); si donc on mène la droite X£T telle que l’angle BEK soit — 4, elle sera tangente. La question est donc réduite à faire passer en À un cercle tangent à X7 au point Æ (n° 204). On élèvera les perpend. CE à XI, et CG sur le milieu de BE ; Csera le centre.

Cette construction est souvent employée, surtout lorsqu'il s’agit « de formér un triangle dans lequel on connaît, entre autres choses, un côté et l'angle opposé, comme dans les questions suivantes.

V. Décrire un triangle BDE (fig. 76) dont on connaît la base b, la hauteur k et l'angle du sommet. Après avoir tracé BE —bet sa parallèle DD", à la distance 4ÀG — h de BE, on décrira sur BE un seoment capable de l’angle donné 4, et les points où DD” coupera le cercle, donneront pour solutions les triangles demandés BDE, BD'E.

VI. Soient trois points BP, 4, C (fig. 77) tracés sur une carte, fixer le lieu d’un quatrième point D, connaissant les angles BDC et BDA. On décrira sur BC le segment #i B capable de l’angle BDC, ainsi qu'on vient de le dire , et le point cherché D fera sur cette circonférence mni, qui est le lieu des sommets D de tous les angles égaux à BDC. De même, sur BA, le segment p94 capable de BD A : le point D sera à l'intersection des deux circonf. Quand * l’une de ces circonf. passe à la fois pe les trois points 4 BC, selon que l’autre est ou n’est pas dans le même cas, le problème est om terminé ou absurde,

VIT. Construire un triangle 4BC (fig. 68) dont on connaît la base AB, Yangle opposé C et le rayon OF du cercle inscrit ? Puisque O4 et OB divisent en deux parties égales les angles 4 et B du triangle cherché BC, dans le triangle 4OB, l'angle O, supplément de OAF +. OBF, ou de = (4 + B), est 0—2D—:(4+4RB);et comme 4 + B—2D—C, ona O = D + = C. L’angle O étant connu, on déterminera le point © (probl. V), puis traçant le cercle EDF, qui touche 4B en F, les tangentes 4£, BD ächèveront le triangle cherché.

VIII. Étant donnés un triangle 4’B'C' (fig. 78) et deux circonf. concentriques 40, CO, construire un triangle 4BC qui ait deux sornmets 4 et B sur la grande circonf., et l’autre C sur la petite, et qui soit équiangle avec le proposé 4 = 4’, B— BP, C= C'.