CLASSIFICATION DES COLRBE8 ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ
457. Paraboloïde elliptique. — Arrivons enfin au type (9), en supposant «l'abord lés deux canes de même signe. Nous avons l'équation réduite
(a7) Zl + |2. = o,
p et q désignanl deux constantes positives.
Le plan xOy est un plan de s\ métrie oblique pour la direction Qz ; il en est de même du plan xO z pour la direction Oy. Le plan yOz est tangent en G ( n" 206).
L'axe des x es! la seule direction asymptotique réelle. Le plan asymptote correspondant est le plan de l'infini, comme on le voit en prenant l'équation du plan tangent en coordonnées homogènes.
Coupons par le plan x = h. Nous obtenons l'ellipse
ipll '/.(/Il
Elle n'est réelle que pour h >- o et lorsque h croît de o à -f- x. elle croît indéfiniment, en restant homothétique à elle-même, depuis le point O jusqu'à une ellipse infinie.
Le plan ^ = h coupe suivant la parabole P'
(29) ■y*=ip(x— —
Si l'on porte l'origine au point O'f ■ — > o, 1i\. l'équation ci-dessus devient
( 3o) y1 — ipx .
Elle est indépendante de h. Donc, lorsque h varie, P' subit une translation. Le point O' décrit d'ailleurs la parabole Q, section de la surface par z-Ox.
En coupant par y = h: on verrait de même que la surface peut être engendrée par la translation ( ' ) de la parabole Q, le point O décrivant la parabole P, section par xOy.
Remarquons que les paraboles P et Q tournent toutes deux leur concavité vers les x positifs.
(') C'est une surface de translation {cf. Chap. XXIII, Exercice résolu n° 6).
4j4 CHAPITRE XXX.
La surface se compose d'une seule nappe, tangente en O à yO:, entourant la partie positive de O x et s 'évasant de plus en plus au fur et à mesure qu'elle s'éloigne de^Or [fig- 48).
Fig. '&.
On l'appelle paraboloïde elliptique.
ioS. Paraboloïde hyperbolique. — Supposons maintenant que les deux carrés du type (9) soienl de >iunes contraires. Nous avons
l'équation réduite
p et q désignant encore deux constantes positive>.
Les plans yOx et zOx sont encore des plans de symétrie oblique el r< ) z est toujours tangent en O.
L'axe des x est toujours une direction asymptotique. le plan asymptote correspondant étant le plan de l'infini. Mais il \ a d'autres directions asymptotiques réelles, à savoir celles des deux plans
slp sfq
qui sont appelés plans directeurs {cf. n" 562). Le plan asvmplote correspondant à la direction (a, y//>. ^ q), par exemple, a pour équation ( n° 240)
vp \q
Il est parallèle au premier plan directeur. La section par le plan x = h est l'hyperbole
2 pli iqli
CLASSIFICATION IiES COURBES ET SURFACES 1)1 SECOND DEGRÉ. iji
Elle coupe en deux points réels xOy ou xOz suivani que h esl ^> o ou <u.
( lomnie au numéro précédent, on peut voir que les secl ions par les plans parallèles à ./ ( ) y ou xQz sont des paraboles déduites par translation des paraboles 1* et Q des plans xi > r el xOz. M ;i i ^ cette fois, la parabole 1* tourne sa concavité vers les x positifs, tandis que Q tourne sa concavité vers les ./• négatifs. Cette simple différence
Fig. jg.
.siiilii pour entraîner une modification profonde dans la forme de là surface, qu'on se représente, celte fois, beaucoup plus difficilement {fig. 19). On la compare quelquefois à une selle. On l'appelle paraboloïde hyperbolique.
io9. Non? connaissons maintenant toutes les formes de courbes ou de surfaces qu'est susceptible de représenter une équation du second degré et nous possédons en outre un moyen certain de reconnaître, sur une équation à coefficients numériques donnés, à quel cas nous avons affaire. Ce moyen consiste à faire la décomposition en carrés comme il a été expliqué au n° 449 et à examiner dans quel type rentre la décomposition. Si l'on n'a pas présent à l'espril le Tableau de correspondance entre 1rs divers types el les diverses surfaces, il suffit d'écrire l'équation réduite pour se reconnaître aussitôt.
460. Points a l'infini ; genre. — On classe quelquefois les coniques et quadriques en genres, au moyen de leurs points à l'infini.
En Géométrie plane, trois cas sont à distinguer. Suivant que les points à l'infini sont imaginaires, réels et distincts ou confondus, on dit que la conique esl du genre ellipse, du genre liyuerbole ou du genre parabole, donnant ainsi à chaque genre le nom de la coniquenon dégénérée qui en fait partie.
Le genre d'une conique donnée par son équation se reconnaît aisément en écrivant le faisceau des directions asymptotiques (n°23o) <t en cherchant la réalité de ses rayons (n° 79).
Dans l'espace, la nature de la section par le plan de l'infini pour les différentes classes de quadriques se reconnaît facilement sur les équations réduites, en formant le cône des directions asymptotiques. On groupe toutes les quadriques de même section en un même genre, auquel on donne le nom de la quadrique non dégénérée ou la moins dégénérée. Chaque genre est caractérisé par la décomposition en carrés de la forme quadratique rz>(x,y, z) constituée par les termes du second degré. Voici le Tableau des genres :
Tableau des gejires.
G en ri:.
SECTION par le plan de l'infini.
