CLASSIFICATION DES COIRBKS ET SURFACES IH" SECOND DEGRÉ
Si y croît de h ;'i -i- x. x croî( de a à + 00 el le point romani pari du point V de ()./■, avec une tangente parallèle .1 < > y. el s'éloigne à 1 infini, asymptotiquement à i;i droite (')
En effel . on ;i
Cette expression tend vers zéro par valeurs positives; cela non-' prouve bien que la droite 171 es! asymptote et, <-n outre, qu'elle esl au-dessus de la courbé, pour l'arc considéré A), (fig. i > |.
Fig. 43.
En complétant par symétrie, on obtient les deux branches infinies XAu., X.'A'u.', don! l'ensemble constitue une hyperbole.
Si l'on changeait — 1 en -\- 1 dans l'équation in obtiendrait
les deux branches XBX', y-B'y.'. tracées en pointillé el qui constituent ["hyperbole conjuguée tle la première [cf. n° o33i.
Dans l'espace, l'équation (i5) représente un cylindre hyperbolique.
lo3. Parabole. — Passons maintenant au type (ii)- Il nous donne
(') Cela peut se voir sur l'équation de la tangente [analogue à (i4)]- écrite en coordonnées homogènes. Ou peut remarquer aussi que les asymptotes sont les
directions asymptotiques menées par le centre (n i61).
pour équation réduite (18)
iiiAi'inii: \\\
y- — ipx — o.
Le lecteur reconnaît l'équation élémentaire de la parabole'. Construisons néanmoins la courbe.
L'axe des a esl un axe de symétrie oblique pour la direction Ov. La courbe passe à l'origine, avec la tangente Oy. Elle admet pour direction asymptotique O.r. l'asymptote étant rejetée à l'infini i a0 -'M i. Enfin, lorsque y croît de o à + x. x croît égalemenl de o :i 4- x el le point M décrit l'arc O"/. {fig- i4)- En complétant par
symétrie, on a la courbe /.Oa . que nous appellerons parabole. Dan- l'espace, l'équation (18) représente un cylindre parabolique.
154. Ellipsoïde. — Passons maintenant au type (8), dans le cas où PJ, Q-. Iï- ont le même signe, par exemple le signe +.
Si la constante h est > o, aucun point n'est réel; nous dirons que l,i surface est une ellipsoïde imaginaire.
Si h = o. on a un cône (n° 375 >, qui n'a que son sommet de réel : c'est un cône imaginaire.
Le seul cas intéressant est celui où h est << o. On a alors l'équation réduite
Étudion's la forme de celle surface.
D'abord, l'origine est un centre de symétrie. Ensuite, chaque plan de coordonnées est un plan de symétrie oblique pour la direction de l'axe opposé.
Coupons par le plan z = h; l'équation de la section par rapport
CLASSIFICATION DF.S COURBES ET SURFACES Dl SECOND DEGRE.
;m\ axes O'xy (fig- (5 i esl en |> »sanl
La section esl donc une ellipse in" 151), qui n'esl réelle que -1 — c- h • h- <■. Quand // croît 'le 0 à c, clic pari de l'ellipse 'lu plan «le- ./ > . puis diminue constamment, en restant homothétique à elle-même et enfin se réduit au point C «le ()r (ou a deux droites imaginaires), pour A : <■. Le plan de section est alors tangenl eu ce poinl 1 ' '.
On a «les conclusions analogues pour les sections parallèles aus autres plans de coordonnées. La surface est donc une surface fermée, inscrite dans le parallélépipède x = di a, y = ± b, z = dtici et donl
la figure h <l«inne une idée, i On s'est borné à représenter la portion de la surface située dans la région positive des imis plans de coordonnées. 1
On l'appelle ellipsoïde réel.
lot>. Hyi'Khboloïde a i m: nappe.
Supposons maintenant que
deux carrés seulement soient de même signe.
(') Puisque la section se décompose. » >n peut aussi le voir sur l'équation général du plan tangent, qui est
ir />■ c'
Examinons 'd'abord le cas de h = o. On a une équation réduit' de la forme
Elle représente un cône réel de sommet O, qui a pour bases une ellipse dans le plan ; = c et des hyperboles dans les plans y = b et x = a.
Supposons maintenant h ^o et du signe du carré qui est seul de son signe. Nous avons l'équation réduite
Comme tout à l'heure, l'origine el les plans de coordonnées sont des éléments de symétrie.
Le cône des directions asymplo tiques est le cône (23); il est réel. C'est d'ailleurs le cône asymptote. On peut le voir en prenant l'équation du plan langent en coordonnées homogènes, ou bien en se rappelant que l'origine est centre (n° 461), ou bien en calculanl la distance V = MM' entre le point M de (24) et le point M' de (a3) de mêmes x et y. En posant
/ x- yy a- 6-
on a
1 c 1 II
Lorsque u tend vers + 00, V tend \ers zéro par valeurs positives et z = cu tend vers 4-00. Donc, le cône (20) est bien asymptote el se trouve au-dessus de la surface, dans la région des ; positifs. '
Coupons par le plan z = h. Nous obtenons une ellipse représentée par l'équation (21), si l'on pose
Quand h croît de o à -i- oc, cette ellipse part de l'ellipse du plan des xy et augmente indéfiniment en restant homnthétique à ellemême.
Coupons parle plan y= h. La section a pour équation par rapport
CLASSIFICATION DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRE. 47 l
aux axes O" xz j fig. \6) :
të F
C'est une hyperbole qui a, par rapport à 0>r. la disposition en
Fig. 46.
trait plein ou en pointillé de la figure 43, suivant que h2 est << b2 ou ^>b-. Pour Ji=±b, elle se décompose en deux droites réelles, concourantes au point B, où le plan de section est alors tangent.
Les sections par les plans parallèles à yOz sont des hyperboles analogues.
La surface est constituée par une nappe infinie entourant Os et s'évasant de plus en plus, au fur et à mesure qu'elle s'éloigne de xO y, en se confondant à la limite avec le cône asymptote (fig- 4'i >•
On l'appelle hyperboloïde à une nappe.
4o6. Hyperboloïde a deux nappes. — Supposons maintenant que h ait le signe des deux carrés qui sont de même signe. Nous avons l'équation réduite
L'origine et les plans de coordonnées sont toujours des éléments de symétrie.
Le cône asymptote est toujours le cône (23). Mais, cette fois, si
l'on répète le calcul (20), on trouve A = — • ; de sorte que, dans
la région des z positifs, le cône est au-dessous de la surface.
Le plan z = li coupe encore suivant l'ellipse | :>. i i. mais avec
Cette ellipse n'est réelle que pour h-^> c-.
Pour h = c, elle se réduit au point C ( ou deux droites imaginaires ) : le plan de section est tangent en ce point.
Fig. 47-
Si h croit de c à -j-oc, l'ellipse croit indéfiniment en restant homo thétique à elle-même.
Le plan y = h coupe suivant l'hyperbole
qui a, par rapport à O'x, la disposition en trait pointillé de la figure |.!.
La surface comprend deux nappes symétriques, situées de part et d'autre des plans z = zn c, entourant O^ et s'évasant de plus en plus, au fur et à mesure qu'elles s'éloignent de xOy. en se confondant à la limite avec le cône asymptote {fig. \~).
On l'appelle hyperboloïde à deux nappes.
L'hyperboloïde (26) est dit conjugué de l'hyperboloïde (2 j ! < cf. n° 452).
