CLASSIFICATION DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ
Le genre d'une conique de l'espace se reconnaît en coupant par le plan de l'infini. En particulier, si la conique est définie, comme c'est presque toujours le cas, comme section d'une quadrique Q par un plan P, ses points à l'infini ne changent pas si l'on remplace Q par une quadrique homothétique (n° 407) et P par un plan parallèle. En particulier, on peut couper le cône des directions asymptotiques par un plan parallèle à P mené par l'origine. Suivant que l'es deux génératrices d'intersection sont imaginaires, réelles et distinctes ou confondues, la conique proposée est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.
461. Centres, plans diamétraux, diamètres. — Nous avons vu, au cours de la discussion des équations réduites, que certaines coniques et quadriques admettent des éléments de symétrie. Rien n'est plus facile que de faire la recherche de ces éléments, dans le cas particulier des courbes et surfaces du second degré. 11 suffit, en effet, d'interpréter proj ectivement leur définition pour être ramené à la théorie des éléments conjugués, exposée au Chapitre précédent.
Ainsi, un centre est le pôle du plan de l'infini. Ses coordonnées sont donc données par le système (n° 434)
(35) /£ = ?, fy = °, /i=°j
la dernière équation devant être supprimée en Géométrie plane.
La discussion des centres pour les différentes espèces de quadriques (ou coniques) résulte de la discussion du n° 434. On peut aussi la faire très aisément au moyen des équations (35) appliquées aux équations réduites. On reconnaît ainsi que les ellipsoïdes, hyperboloïdes et cônes ont un centre unique. Les paraboloïdes n'ont pas de centre, car ils sont tangents au plan de l'infini, dont le pôle est le point de contact ou point à l'infini de l'intersection des plans directeurs. On dit quelquefois qu'ils ont un centre unique à l'infini. Les cylindres elliptique et hyperbolique et les systèmes de plans sécants ont une ligne de centres. Le cylindre parabolique, qui est tangent au plan de l'infini le long d'une génératrice, n'a pas de centre ; on dit quelquefois qu'il a une ligne de centres à Vinfini. Enfin, le système de plans parallèles a un plan de centres.
Pour les coniques, l'ellipse, l'hyperbole et les sécantes ont un
centre unique; la parabole a un centre à l'infini; les droites parallèles ont une ligne de centres.
Le cône circonscrit à partir du centre a sa courbe de contact dans le plan de l'infini (n° 435); c'est donc l'enveloppe des plans asymptotes; c'est le cône asymptote.
En Géométrie plane, les tangentes issues du centre sont les asymptotes.
102. Quand on a trouvé un centre O' (#„, y0, 50), on sait qu'en portant l'origine en ce point, les termes du premier degré disparaissent (ri0 2i8). D'autre part, si l'on ne change pas l'orientation des axes, les termes du second degré ne changent pas. Que devient le [finie constant ?
La nouvelle équation s'écril
/■f^o + ^Jo + j'i z0-r-z') = o.
Pour avoir le nouveau terme constant, il suffit d'annuler x' . y . s ; il reste f(%0,y0: s0).
On peut simplifier son calcul en tenant compte de (35). L'identité d'Euler nous donne, en effet,
/(>0. Jo, *o) = ~ (Vv+7»/,'- -u/^-//j = -./'/'„ •
On a une formule analogue en Géométrie plane.
463. In plan de symétrie oblique pour la direction OÀ(a, [3, y), appelé plus couramment plan diamétral conjugué de celte direction, n'est autre que le plan polaire du point à V infini sur ()). : il a donc pour équation ( n° 132)
En Géométrie plane, on supprime le troisième terme et 1 on a le diamètre conjugué de la direction 0)>.
D'après le théorème du n° 43o, tout plan diamétral passe par le ou les centres. C'est aussi évident d'après (35) et (36). En particulier, pour les paraboloïdes, tous les plans diamétraux sont parallèles à l'intersection des plans directeurs.
