CLASSIFICATION DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRE

Remarquons aussi que la courbe de contact du cylindre circonscrit parallèlement à O a est la section par le plan diamétral conjugué. On a des propriétés analogues en Géométrie plane.

46i. Cherchons maintenant à interpréter la théorie des droites conjuguées par rapport à une quadrique (n° 136), lorsqu'une de ces droites D' est à l'infini. L'interprétation la plus simple consiste à se rappeler que tout plan P passant par D' coupe D suivant un point M, qui est le pôle de D' par rapport à la conique de section. Comme D' est à l'infini, on voit que D n'est autre que le lieu des centres des coniques de section par les plans parallèles P. Cette droite est appelée diamètre conjugué des plans P.

Si l'on considère maintenant les plans polaires des points de D', on sait qu'ils passent par D. Donc, les plans diamétraux conjugués des directions de P passent tous par le diamètre conjugué de P.

On en déduit aisément, d'après (36), les équations de ce diamètre, connaissant l'équation du plan P qui, par exemple, passe à l'origine. Soit

( 57 ) ux ^-vy-%- wz = O

cette équation. Prenons le plan diamétral conjugué de la direction « 1 . — u, o) de ce plan :

Par permutations circulaires, on a deux autres équations analogues et l'on peut écrire les équations du diamètre conjugué du plan (37) sous la forme simple

(38) ik = -!± = h.

Comme les plans diamétraux, tous les diamètres passent par le ou les centres. En particulier, les diamètres des paraboloïdes sont tous parallèles à l'intersection des plans directeurs.

Les plans tangents parallèles aux plans P ont leurs points de contact à lintersection de la quadrique avec le diamètre conjugué. Ces points sont quelquefois appelés extrémités du diamètre.

465. Systèmes de diamètres ou de plans diamétraux coniugiks. —

Interprétons les triangles, trièdres et tétraèdres conjugués (n° 438), dans les cas particuliers où certains de leurs éléments vont à l'infini. Soit un tétraèdre conjugué dont une face est le plan de l'infini. Les trois autres faces constituent un trièdre Oxyz, dont le sommet O est centre de la quadrique. En outre, le plan diamétral conjugué de chaque arête est le plan de la face opposée ; chaque arête est le diamètre conjugué du plan de la face opposée. Un tel trièdre est appelé système de diamètres conjugués ou de plans diamétraux conjugués. C'est évidemment un trièdre conjugué (n° 438). Si on le prend pour trièdre de coordonnées, l'équation de la quadrique ne doit pas changer quand on change x en — x, ou y en — y. ou z en — z. Elle est donc de la forme (cf. n° i-39)

( 3g A x- -+- By- +C52+D = o.

Si Ton se reporte aux équations réduites (19), (a4) el (2^)< on voit que les plans ( P), (Q '), (R) donnés par les carrés de la décomposition forment toujours un système de plans diamétraux conjugues.

Il est à remarquer que ceci ne s'applique pas aux paraboloïdes (') ni au cylindre parabolique, qui n'ont pas de centre à distance finie.

On a des conclusions analogues en Géométrie plane. On doit alors supprimer le troisième terme dans l'équation (•>()).

466. Considérons un triangle conjugué xyz situé dans le plan de l'infini, c'est-à-dire un triangle conjugué par rapport à la conique de l'infini de la quadrique. Tout trièdre Oxyz qui l'admet comme trace sur le plan de l'infini jouit de la propriété suivante : le plan diamétral conjugué de chaque arête est parallèle à la face opposée. Ln tel trièdre est appelé trièdre de directions conjuguées. Ce n'est un système de diamètres conjugués que si O est centre.

Si on le prend pour trièdre de coordonnées, le c<me des directions asymptotiques de sommet O admet toujours O pour centre et, par

(') Dans le cas des paraboloïdes, le trièdre Oxyz. qui donne les équations réduites, est tel que chacun des plans ^0/ et xOz est plan diamétral conjugué de l'arcte opposée. Mais. yOz n'est pas plan diamétral conjugué de Ox: il a seulement une direction conjuguée de celte droite ( n° 46<i).

CLASSIFICATION DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ. &8l

suite, Oxyz pour système de diamètres conjugués ('). Il s'ensuil que son équation est de la forme (3g), mais sans terme constant. Donc, si L'on prend pour trièdre de coordonnées un trièdre de directions conjuguées, il n y a pas de termes rectangles dans l'équation de la quadrique et réciproquement .

Nous dirons quelquefois que le plan xOy, par exemple, a une direction conjuguée de la direction de la droite Qz. De même, Ox et O r ou bien zOx et zOy ont des directions conjuguées. Cela veut dire simplement que les traces de ces directions sur le plan de l'infini sont des éléments conjugués (polaire et pôle, points conjugué», droites conjuguées) par rapport à la conique de l'infini de la quadrique.

Tout cela s'applique en Géométrie plane, avec des modification» qui sont évidentes.

467. Méthodes d'identification d'une Conique ou d'ike quadrique.

- — Quand on est en face d'une équation quelconque du second degré, on est quelquefois très embarrassé pour savoir ce qu'elle représente.

Si l'on a affaire à une équation à coefficients numériques, le procédé qui est souvent le plus pratique et qui est toujours le plus sur est celui de la décomposition en carrés {n° 4-49). Il a, en outre, l'avantage de conduire à une équation réduite.

Malheureusement, avec des coefficients littéraux, cette méthode devient rapidement inextricable et il devient nécessaire de trouver des procédés plus simples. On utilise, à cet effet, une ou plusieurs propriétés se mettant facilement en évidence sur l'équation proposée et dont l'ensemble suffit pour caractériser la nature de la surface (ou de la courbe) ( 2).

Parmi les éléments qu'on peut ainsi invoquer, signalons les points à l'infini (classification par le genre), les centres, les diamètres, les génératrices rectilignes, les sections planes, etc. Les propriétés spéciales de ces éléments, pour chaque classe de quadriques, se mettent facilement en évidence sur les équations réduites. Nous en

(') Il faut remarquer que ce cône et la quadrique proposée ont même section par le plan de l'infini.

(-) Pour les coniques, il suffit généralement de chercher le genre et de voir si la conique est dégénérée.

Haag. — Cours, II. 3i

avons rassemblé quelques-unes clans le Tableau ci-dessous, qui résume toute la classification des quadriques.

TYPE dp la décomposition.

NATURE de la quadriquc