CHAPITRE M. — CGIRBES ET SURFACES DIVERSES

Toutes les lignes a = const. sont des hélices de même pas.

Le plan tangent en M contient la génératrice MG et la tangente MT :,\ riiélice (u) qui passe par ce point. D'après ce qui a été vu au n° 616, c'est le plan oscillateur de ladite hélice. Donc, les hélices («) sont lignes asymptoilques de la surface ( n° o4'5). Les autres lignes asymptotiques sont, comme on suit (n° 374), les génératrices G. Elles coupent les premières à angle droit. Il s'ensuit que les tangentes asymptotiques en chaque point sont rectangulaires et. par conséquent, que la surface est minima (n° 3-i7 J.

En s appuvant sur la formule (i5) du n° 365, on trouve que Vêlement linéaire ou distance des points < «, v) et (' u -+- du. v 4- dv) est donné par

d.s°- = duP- -+- 1 u*- -+- k* ) d^ = ( u*- -t- k*- A ' "', - dv*-

Faisons le changement de variable

Ç du ,

U'=J\/^TP-=i°s{li /«*+*)■

En supposant | ' i, [tour simplifier, /. = i, on a (cf. t. I. Chap. \II. Exercice proposé nn 17 i

u = sh //'. u- 4- /. 2 = sh- u' — \ — ch2 u' ;

d'où

I !g) ds-=c\i-u'idu--thi<.

On retrouve la formule (î i). c'est-à-dire Vêlement linéaire de la catènoïde . On en conclut que si l'on étahlit, entre les deux surfaces, une correspondance telle que deux points homologues aient les mêmes coordonnées (*)(//. i , deux lignes homologues quelconques ont même longueur. Les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre in" 400).

En répétant le raisonnement l'ait au n° 611, on voit que les lignes de courbure, qui coupent les ligne- asymptotiques à i*>\ ont pour équation générale

(4o) u ± v = const.

Dans la correspondance ci-dessus, elles sont homologues des lignes asymp-

totiques de la catènoïde et vice versa.

(') Cela revient à choisir convenablement l'unité de longueur ou bien ,\ faire une homothétie.

(2) Bien entendu, pour l'hélicoïde, u est la nouvelle variable //'.