I. — REPRÉSENTATION ANALYTIQUE DE LA LIGNE DROITE

lii. Equation dé la ligne droite. — La droite est une lit: m- algébrique du premier de<zré . En effet, si on la prend pour axe des #, -un équation esty = o, ce qui est une équation du premier degré. On sait, d'autre part, que l'algébricité et le degré sont indépendants du choix des axes (n° i-2). Donc, quels que soient ceux-ci, toute droite du plan est représentée par une équation du premier degré :

(i) Aï + Bj + C^o.

Réciproquement, toute équation du premier degré représente une droite. En effet, partons de l'équation (i). Soient M0 et M, deux points qui la vérifient. Changeons d'axes, en prenant l'origine en M„ el l'axe des x suivant M0M,. L'équation transformée est encore du premier degré, soit

Elle doit (ire vérifiée pour M0, c'est-à-dire pour x' = y'= o. Ceci exige C'=o. Elle doit être vérifiée aussi pour M,, dont l'ordonnée nouvelle est nulle, l'abscisse ne l'étant pas, pour que M, soit différent de M„. Ceci n'est possible que si A' = o. Mais alors, l'équation (2) se i' duit à y' = o, qui représente le nouvel axe des x, c'est-à-dire la droite M,, M, .

Il est. du reste, facile' d'établir directement la proposition précédente. On peut le faire 'le bien des manières. Nous allons suivre une méthode qui aura l'avantage de nous donner, du même coup, plusieurs résultats important