II. Inégalité à trois inconnues. — Soit

On l'interprète dans l'espace, au moyen de la surface

On procède absolument comme plus haut.

57. Lieux géométriques dans le plan. — On appelle lieu géométrique l'ensemble de tous les points du plan qui satisfont à une condition donnée. Celte condition doit d'ailleurs ètic une condition simple, c'est-à-dire qui se traduise par une seule relation entre les coordonnées, sans quoi le lieu ne comprendrait qu'un nombre limité de points, tandis qu'il doit être, au contraire, constitué par une ou plusieurs lignes.

Le lecteur sait que la recherche des lieux géométriques est parfois fort aride quand on n'a, à sa disposition, que les moyens d'investigation de la Géométrie pure. On procède plus ou moins par tâtonnements, car il n'existe pas de règle générale permettant d'arriver à coup sûr au résultat, quel que soit le problème envisagé.

En Géométrie analytique, au contraire, il existe des méthodes fixes, qui s'appliquent dans tous les 'cas, du moins théoriquement. Dans la pratique, toutefois, elles ne sont utiles qu'autant qu'elles conduisent à des calculs praticables. L'habileté du géomètre consiste précisément à savoir éviter les calculs compliqués. Ajoutons qu'il ne faut jamais délaisser les raisonnements de la Géométrie pure, une déduction évidente pouvant amener parfois des simplifications considérables dans la solution analytique.

La première chose à faire est de choisi/- le système des coordonnées qu'on se propose d'utiliser, si toutefois il n'est pas imposé dans l'énoncé. C'est là une opération dans laquelle il ne faut pas s'engager à la légère, car un choix mal approprié peut occasionner un échec dans la recherche d'un problème ('), par suite des calculs inextri-

(!) Ces observations sonl valables pour la résolution analytique de n'importe quel problème de Géométrie, bien que nous les présentions seulement à propos des ieux géométriques.

cables auxquels il donne naissance. On doil étudier attentivement renoncé, et se rendre compte mentalement des avantages <i inconvénients que présenterait tel ou tel système. Puis, on décide entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires (' ). Après quoi, il faut choisir les axes. Par exemple, si l'on aperçoit un axe ou un centre de symétrie dans la question, il sera généralement avantageux de le prendre pour axe ou pour origine de coordonnées (ou axe polaire ou pôle). La plupart du temps, on choisira les axes de manière à simplifier le plus possible les données. S'il est question de propriétés métriques (n° 67), on prendra des axes rectangulaires.

Il arrive que, malgré toutes les précautions prises, on s'aperçoit dans la suite, alors qu'on est déjà bien engagé dans la question, qu'il eut été plus avantageux de choisir autrement les coordonnées. Il ne faut pas craindre de changer de système, dans de semblables circonstances, soit en reprenant le problème à son début, soit en utilisant totalement ou partiellement les résultats déjà obtenus, par le moyen des formules de transformation de coordonnées. En particulier, il arrive fréquemment qu'on passe, au courant d'un problème, des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires ou inversement.

Il peut arriver aussi, quoique plus rarement, qu'on mène de front l'emploi de deux systèmes, utilisant tantôt l'un, tantôt l'autre.

Revenons maintenant à la théorie des lieux géométriques pour exposer les méthodes qui permettent dç les déterminer analytiquement, quand on a fait choix d'un système de coordonnées. Nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, aux coordonnées cartésiennes. Mais, tout ce que nous dirons s'appliquerait à n'importe quel autre s\ stème.

58. Méthode directe. — On prend un point quelconque M(.r, y) dans le plan et Von exprime qu'il satisfait à la définition du lieu. On obtient de la sorte une relation entre x et y, qui est l'équation du lieu.

(') Ou tout autre système. Dans cet Ouvrage, nous ne ferons guère usage que des coordonnées cartésiennes et polaires (semi-polaires dans l'espace), exception faite pour les coordonnées trilinéaires (ou létraédriques) (Chap. X). Ajoutons qu'il y a lieu également quelquefois de choisir entre les coordonnées ponctuelles et tangentielles (Chap. XX ).

Haag. — Cours, II. 5

66 CIIAPITRK V.

Méthodk par élimination. — On cherche deux familles de courbes (C) et (C), dépendant d'un seul et même paramètre X ci telles que tout point dit lieu se troUve à V intersection de deux courbes homologues et que, réciproquement, deux courbes homologues ne se coupent qu'en des points du lieu.

Il arrive d'ailleurs fréquemment que le lieu est précisément défini par le moyen de deux semblables familles. Soient

(o f(*,y,l) = Oi g(r, y, V> = o,

les équations des courbes (C) et (C). On a la règle suivante :

Règle. — Pour avoir l'équation du lieu, on élimine X entre les deux équations (i).

Soit, en effet,

le résultat de l'élimination (t. 1. n° 231).

i° Tout point au lieu vérifie l'équation (2), car, si l'on substitue ses coordonnées à x, y dans les équations (1), ces dernières ont au moins une racine commune en X, à savoir le paramètre relatif aux lignes (C) et (G) qui se croisent en ce point.

20 Tout point vérifiant (2 (est un point du lieu, car, si l'on substitue ses coordonnées à x, y dans les équations ( 1 ), ces dernières ont au moins une racine commune en A. A cette racine correspondent dès lors une ligne (C) et une ligne (C) se coupant au point considéré, lequel appartient donc bien au lieu.

59. Solutions singulières. — Quand on emploie la méthode précédente, il arrive quelquefois que prennent naissance ce qu'on appelle des solutions singulières. Voici en quoi elles consistent. Imaginons que, pour une certaine valeur À0 de X, les lignes (C) et (C) se confondent ou bien se décomposent en avant une. partie commune (S). Tout point de (S) vérifie nécessairement l'équation parce que vérifiant les équations 1 1 ) pour une même valeur À0 de X. Dans cette circonstance, on doit donc nécessairement constater la décomposition de R (x,y) en au moins deux facteurs, dont l'un.

égalé à zéro, donne (S). Si l'on considère le lieu connue délini par l'ensemble des points communs à tous les couples de lignes (G), (C) homologues, on ne peut pas dire que la -courbe (S) ne fasse pas partie du lieu. Mais, elle en constitue une partie pour ainsi dire accidentelle et peu intéressante, qu'on appelle une solution singulière. Il peut y avoir plusieurs soin lions singulières.

Solutions étrangères. — 11 arrive aussi qu'on introduit dans R(j?, y) des facteurs étrangers. Pour tout point annulant un tel facteur, les équations (i) n'ont pas de solution commune en X. La courbe correspondante ne fait, à aucun titre, partie du lieu et constitue ce qu'on appelle une solution étrangère.

Les facteurs étrangers proviennent toujours des calculs relatifs à l'élimination qui, à un moment donné, cesse d'être correcte (') (t. I, n°2'<6).

Moyen de reconnaître les solutions singulières et les solutions étrangères. — Quand on s'est aperçu de la décomposition de R (x, y) en un certain nombre de facteurs, il importe de savoir déceler ceux qui correspondent à la véritable solution, à des solutions singulières ou à des solutions étrangères.

Soit donc (A) la courbe que représenterait l'un des facteurs si on l'égalait à zéro. Substituons les coordonnées d'un quelconque M de ses points à x et à y dans (i) et cherchons la racine commune de ces deux équations en h. Si elle n'existe pas, le facteur est étranger. Si elle existe, mais possède une valeur constante X0, c'est-à-dire indépendante de la position de M sur (A), la solution est singulière. La courbe (A) fait en effet partie à la fois des courbes (C) et (C) qui correspondent à la valeur a0 de X. Enfin, si la racine commune varie, lorsque "M décrit (A), on a affaire an lieu proprement dit ou à Tune de ses parties ( -).

60. Introduction ue plusieurs paramètres. — Il est quelquefois difficile de trouver un paramètre X en fonction duquel on puisse calculer pratiquement les coefficients des équations (i). Quand il en est ainsi, on écrit ces dernières en introduisant des paramètres

(') Ce qui ne veut pas dire qu'on ait fait des fautes de calcul.

(2) It peut arriver que le lieu véritable se décompose en plusieurs courbes.

68 CHAPITRK V.

surabondants, en nombre n aussi élevé que cela est nécessaire. Mais, pour qu'il n'existe en réalité qu'un seul paramètre indépendant, tous ces paramètres sont liés par n — i relations distinctes.

Pour avoir V équation du lieu, on élimine les paramètres entre les équations des deux courbes et les relations de condition.

La démonstration de cette règle se fait d'une manière entièrement analogue à celle du n° 08.

Remarque. — Si les courbes (C) et (G.) dépendaient de deux ou de plus de deux paramètres indépendants, il n'y aurait pas de lieu. On pourrait en effet faire passer deux courbes homologues par tout point du plan, car on aurait, pour cela, à résoudre deux équations à deux inconnues au moins. Cependant, il peut arriver exceptionnellement que le lieu existe (cf. Exerc, Chap. V, exercice résolu n° 3). On se 1 explique du reste très bien si l'on observe qu'on peut toujours imaginer deux familles de courbes telles qu'une infinité de courbes de chaque famille passent par tout point d'une ligne donnée, a priori, comme devant servir de lieu.

On reconnaît analjtiquement qu'on se trouve dans cette circonstance exceptionnelle en essayant de résoudre les équations des deux courbes par rapport aux paramètres. On doit constater que cette résolution est impossible tant qu'on attribue à x et à y des valeurs arbitraires. La condition de possibilité donne l'équation du lieu.

61. Méthode des équations paramétriques. — On cherche les équations paramétriques du lieu. Cela peut se faire de deux manières.

I. Ou considère un point quelconque M du lieu. On cherche ensuite un paramètre qui aura, la plupart du temps, une signification géométrique simple, en fonction duquel on puisse calculer directement les coordonnées de M.

II. Comme au n° 08, on considère le lieu comme engendré par l'intersection de deux courbes variables dépendant d'un paramètre et Von résout leurs équations par rapport à x et à y, qui se trouvent ainsi exprimés en fonction du paramètre. En particulier, si les courbes sont des droites, les calculs seront simples, puisqu'on aura seulement à résoudre deux équations du premier degré à deux

inconnues. Plus généralement, si les courues sont algébriques et ne se coupent qu'en un point variable, les autres points d'intersection étant fixes, on pourra toujours obtenir les coordonnées de ce point variable par des calculs rationnels. Il en va de même si les courbes se coupent en plusieurs points variables, mais dont un seul est inconnu.

Toutes les fois que V élimination du paramètre semble impraticable, il ne faut pas oublier de tenter la resolution par rapport

62. Lieux géométriques dans l'espace. — Dans l'espace, l'élément générateur du lieu peut être soit un point, soit une ligne. Dans le second cas, le lieu est une surface. Dans le premier cas, il peut être une surface ou une ligne, suivant que sa définition comporte une ou deux conditions simples.

Au sujet du choix des coordonnées, il y a lieu de répéter tout ce que nous avons dit au n° 57.

Quant aux méthodes à employer, ce sont les extensions des méthodes de la Géométrie plane.

Premier cas: Lieu engendré par une courbe. — Les équations de cette courbe dépendent d'un seul paramètre, sauf le cas accidentel analogue à celui qui a été signalé au n° 60. Pour avoir l'équation du lieu, qui est une surface (S \. on élimine le paramètre entre les deux équations, ce qui se démontre comme au n° 58.

Comme dans le plan, il peut y avoir des solutions singulières et étrangères (n° 59) et l'on peut introduire des paramètres surabondants liés par des relations (n° 60).

Si la courbe est donnée par des équations paramétriques

on élimine h et t entre ces trois équations. Ou bien, on regarde simplement les équations (3) comme les équations paramétriques de la surface (S).

(') On pourrait encore imaginer que les courbes variables fussent données par leurs équations paramétriques ou bien seulement l'une d'elles. En éliminant les paramètres ou bien calculant W, y en fonction de l'un d'eux, on aurait encore d'autres méthodes.

63. Deuxième cas: Lieu engendré par un point. — On peut d'abord employer la méthode directe (n° 58). Suivant le nombre de conditions simples, on obtient une ou deux équations; le lieu est une surface ou une ligne.

On peut aussi employer la méthode directe en équations paramétriaueSj c'est-à-dire calculer directement les coordonnées d'un point quelconque du lieu en fonction de i ou 2 paramètres.

Supposons maintenant que le point générateur soit défini par l'intersection de trois surfaces (S,), (S2), (S3), représentées toutes trois par leurs équations implicites.

I. Les surfaces dépendent de deux paramètres distincts. - Soient

(4) /,../-. y. .-.>.. ;jl) = 0, f*(x,y,*,\ J*) = o, /s (a-, y, z,l,\x) = o

leurs équations respectives.

En éliminant X, u, on aura l'équation implicite du lieu, qui est une surface. En résolvant par rapport à x,y, z, on en aura les équations paramétriques. Ce dernier procédé sera particulièrement commode si les surfaces (4) sont des plans. Le premier le sera, au contraire, si/,, fi,f% sont linéaires en À, u.

Si l'on a été obligé d'introduire des paramètres surabondants ).,, X2, .... Xw liés par n — 2 relations, on les élimine entre les équations des surfaces et les équations de condition.

IL Les surfaces dépendent a" un seul paramètre. — Soient

(5) f(x,j',z,\) = o, fi(x,y,z,l) = o, f%{*, y, z, \) = o.

En résolvant par rapport à x, y, z, on a les équations paramétriques du lieu, qui est une courbe (C). Cette méthode est tout indiquée quand les surfaces (5) sont des plans.

Voyons maintenant si Ton peut procède/- par élimination. Il est facile de voir, a priori, qu'il y a des cas où cela n'est pas possible, du moins si l'on exige que la courbe (C) soit représentée par deux équations simultanées en x, y, z et deux seulement. Il suffît, en effet, d'imaginer que (C) soit une de ces courbes qui ne sont pas représentables par deux équations implicites (n° 52).

Du reste, en essayant de faire l'élimination, nous allons tout de suite rencontrer des difficultés.

LIEIX GÉ0MÉTRIQ1 ES. "'

On peut d'abord songer à éliminer À entre une des équations ( >, et let deux outres. Mais cela peut se faire de trois manières et l'on peut être embarrassé pour choisir la meilleure. Kn second lieu, admettons par exemple. qu'un ;iit éliminé X entrey*! et f.,, puis entre fx et/3; soient

les équations obtenues. Si un point M les vérifie, on peut affirmer qu'en substituant ses coordonnées dans (5), les équations /, = o, /2 = o auront une racine commune À3 et que les équations /j = o, f3 = o auront aussi une racine commune À,. Mais, rir/i ne prouve que X2 sera égal à X3 {cf. t. I, n° 239 )• Il y a cependant un cas où il en est certainement ainsi : c'est le cas où f est du premier degré en X, puisque l'éq uation /î = o n'admet alors qu'une racine- Encore est-il nécessaire de vérifier que f\ ne s'annule pas identiquement, c'està-dire quel que soit X, ce qui peut arriver pour une infinité de points, satisfaisant d'ailleurs toujours forcément aux deux équations (fi) (cf. Exerciees, Gliap. V, exercice résolu n° 6).

On peut essayer de tourner la difficulté en représentant le lieu par les trois équations simultanées (n° 53)

(;) Rt(x, y,z) = o, R.2(x,y, z) - o. R3(a?, y,z) = o.

Tout point les vérifiant donnera une racine commune Xi à /2, /3, une racine Commune X2 à fa, fi et une racine commune X3 à f\,ft. Mais, on ne saura toujours pas si Xt = X2=X3, bien qu'on puisse affirmer que cela arrive pour une infinité de points, à savoir les points de la courbe (C).

Il y a là, on le voit, une source de difficultés, sur lesquelles nous ne pouvons nous appesantir davantage. La conclusion à en tirer est que, exception faite pour quelques cas simples, il est préférable de chercher les équations paramétriques du lieu, plutôt que de procéder par élimination.