OP

Il est clair que la connaissance des nombres çp el /> détermine complètement La droite D; car, de œ on déduit O/.. de /> on déduit ensuite I' <■( il ne reste plus qu'à mener par P une perpendiculaire àOX.

Inversement, connaissant D, il \ a deux manières de choisir OX, auxquelles correspondent des angles o différant d'un multiple impair de ~ et des valeurs opposées <!<• /*. De sorte qu'à une droite donnée correspondent pour (©, /> | lr> déterminations

s k îc, />

I lL -H7,

Ces nombres çp rt /> seront appelés les coordonnées normales de In droite D. Ce sont, en somme, les coordonnées polain - a i11 </// point. P. Mais, alors que L'angle polaire de 1' cesse d'être déterminé quand P vient en O, L'angle ^ l'est toujours, à a/"n ou (2 A' -h 1 )- près.

Quand une droite sera définie par ses coordonnées normales , nous l'orienterons toujours, sauf indication contraire, par l'angle

polaire -z. •

Cela posé, nous allons chercher l'équation de La droite D, connais-

sanl cp et j>. A ce! effet, nous allons employer la méthode directe de recherche des lieux géométriques (n° 58). Soit M un point quelconque du plan, de coordonnées .r, y. Projetons-le orthogonalement en Q sur D. Nous allons calculer le nombre

d= QM,

que nous appellerons distance de la droite au point ('), mesurée suivant la demi-droite Oà.

Nous avons l'égalité géométrique

PQ -+- QM = OM = x -+- y.

Projetons-la orthogonalement sur Oà. Nous avons, en nous rappelant que les cosinus directeurs de Oà sont coscp et sincs (n° 29) :

d d'où

/>-+-tf = ;rcoscp-i-iysincp; d = x coscp -+- ^sincp — p,

formule très importante en elle-même, qu'il importe de retenir.

Pour que le point M (oc, y) soit sur la droite D, il faut et suffit que d soit nul. L'équation de cette droite s'écrit donc

X oos cp -+- y sincp — • p = o.

Cette forme d'équation s'appelle Informe normale ou canonique. On reconnaît qu'elle est bien du premier degré en x, y.

66. Réciproquement, soit, en coordonnées rectangulaires, l'équation

Aa? + By -+- G = o.

Je dis qu'elle représente une droite. Pour le prouver, je vais calculer cp et p de telle manière que (8) et (9) représentent la même ligne, qui sera la droite de coordonnées normales cp, p. Les conditions d'identification sont (n° 44)

coscp A

(') Et non du point à la droite.

Prenons pour inconnue auxiliaire p la valeur commune de ees trois rapports. Nous avons

(ii) cos(p = pA, sincf = pB, p= — pC

Mais, coso et sino sont liés par

(12) cos2<p -+- sin2(p = 1 .

Donc,

d'où

Choisissant pour p l'une quelconque de ces valeurs, <p el p seront donnés par (11); l'angle, étant d'ailleurs déterminé à la fois par son cosinus et son sinus, sera connu à ik~ près, ce qui définira sans ambiguïté la demi-droite OX, d'où le point P, d'où la droite D. Si l'on change ensuite le signe de o, on retombe sur la même droite, car cos'j) et sincp changent de signe, o se change en tp + 7c, Oa en la demi-droite opposée; mais, p se changeant en — p, on retombe sur le même point P, donc sur la même droite D. Finalement, nous voyons que toute équation du premier degré représente bien une droite.

Ceci n'est valable qu'en axes rectangulaires. Mais, pour ce qui concerne le degré, on peut l'admettre aussi en axes obliques, puisque le choix des axes est sans influence sur ce point de vue (n° 42).

On peut aussi établir une forme normale de l'équation de la droite en axes obliques ('); mais cela présente peu d'intérêt.

Les calculs qui précèdent attirent un certain nombre de conséquences.

D'abord, en supposant toujours les axes rectangulaires, la perpendiculaire à la d/oiteD représentée par V équation (9) a pour paramètres directeurs les coefficients A et B de x et de y. Si l'on veut

les cosinus directeurs (cos'j et sin'^), on peut prendre .

et , On oriente ainsi la perpendiculaire en question dans le

(») Cf. Ni, n° 8-2.

sens du vecteur (A, B), d'où résulte l'orientation de D par une cotation de — - (<) (n° Go).

Deux droites D et D' (A'.r -f- B'j' -+- C' = o) étant ainsi orientées, leur angle A a pour cosinus, d'après la formule (21 ) du n° 31,

v AA'+BB'

(i4 ) cosV =

La condition pour qu'elles soient orthogonales s'obtient en annulent ce cosinus :

05) AA'+BB'=o.

C'est là une formule à retenir.

On peut aussi avoir très aisément la formule qui donne la distance de la droite D à un point quelconque M (a?, y) du plan. Appliquons la formule (7), en tenant compte de (11) et (i3) :

(16) d = p(Aa?-H Br-H C) = J

Si l'on prend, par exemple, le signe + devant le radical, on a la distance algébrique de D à M, mesurée suivant la demi-droite qui a la direction et le sens du vecteur (A, B). Si l'on veut simplement la distance absolue, on prendra | d\.

67. Cas des axes obliques. — Les formules du numéro précédent ne sont plus exactes. On pourrait les généraliser (2); mais cela ne nous semble pas utile. Toutes les fois qu'il sera question d'angles, d'orthogonalités, de distances ou, comme on dit, de propriétés métriques, nous prendrons des axes rectangulaires. Mais, s'il n'est question que de propriétés projectiles (3), il n'y aura pas d'inconvénient à choisir des axes obliques (4).

(') On peut dire aussi que D est orientée par le vecteur (B, — A).

(2) Cf. Ni, n" 113 et 124.

(3) Ce sont les propriétés non métriques. On les appelle ainsi parce qu'elles se conservent dans toute projection cylindrique, ce qui n'a pas lieu pour les propriétés métriques.

( ' ) Il peut arriver qu'on ait intérêt à prendre des axes obliques, même lorsqu'il est question de propriétés métriques. On peut se tirer d'affaire en adjoignant aux

Quand les axes sont obliques, les coefficients A et B ne sont plus les paramètres directeurs de la perpendiculaire àD. Ils caractérisent néanmoins la direction de la droite. On peut le voir en se ramenant aux axes rectangulaires p;ir un changement de coordonnées, sans changement d'origine. Les 'formules de transformation étant homogènes, les coefficients A et B de l'équation transformée dépendent uniquement des coeflicients A et B de l'équation proposée. Si ceux-ci restent fixes, G variant, ceux-là le resteront aussi, la perpendiculaire à 1) menée par O demeurera invariable et, par suite. I) se déplacera parallèlement à elle-même.

On peut aussi raisonner directement comme il suit. Je dis que. quels que soient les a\es, les équations ( i ) et

(17) \ A.x -+- Ry = o

représentent des droites D et D0 parallèles. En ellet. faisons un changement d'origine quelconque m" 33); l'équation transformée de ( 1 ) s'écrit

A.(a?0-+-a?')-+- B(j0--f-y ) -+- G = o ou

(18.) ^a?'-t-Bây'-4-(Aa?0-+-B<Xo-+-G) = o.

Profitons de l'indétermination de x0, r0 pour annuler le terme constant Ax0 4- Br0 -f- G; il suffit pour cela que la nouvelle origine O' soit sur D. Dans cette hypothèse, l'équation (18) se réduit à (17), aux accents près qui affectent les coordonnées courantes. Imaginons

alors qu'on imprime à la figure i.rOi', L)0 1 la translation OO . La droite D„ viendra se placer suivant la droite dont L'équation par rapport aux axes x' O' y' est l'équation (17), pu x et y seraiénl affectés d'accents. Cette droite est précisément D. On peut donc amener D0 sur D par une translation: il en résulte bien que ces droites sont parallèles ( ' ).

axes obliques O&j' desaxes rectangulaires O^k' telsque \Ox, Ov I — — • En appelant 0 l'angle des premiers, on utilise les formules de changement de coordonnées x' = x ■+■ y cos6. y' = r si 116.

(') Le même raisonnement peut èlre employé pour démontrer que deux courbes quelconques se déduisent l'une de l'autre par translation. Plus généralement, pour

La droite D„ passe à l'origine; on peut donc énoncer la règle pratique suivante :

On obtient la parallèle menée par V origine à une droite donnée, en supprimant tous les termes constants dans l'équation de cette droit''.

Pour que les droites D et D soient parallèles, il faut et suffit que les équations u-) et A'x-\-B'y = o représentent la même droite D0. c'est-à- dire que Ton ait (n° 44)

68 Coefficient angulaire. — Supposons que le coefficient 13 ne soit pas nul (' ). On peut alors résoudre l'équation par rapport à y :

L'équation obtenue est de la forme (211 y = mx -+- n .

Cette forme d'équation est assez fréquemment employée. Il ne faut cependant pas s'en exagérer l'importance et tomber dans le travers qui consiste à l'employer exclusivement et à se figurer, en particulier, qu'il faut toujours passer par son intermédiaire dans les questions de directions, d'angles, d'orthogonalité, etc. Elle olfre l'inconvénient, parfois très grave, de détruire la symétrie entre les coordonnées, et aussi celui de ne pas convenir pour les parallèles à Oy. Néanmoins, il y a des circonstances où elle est très utile.

Sous la forme (21 |, on voit que la ligne droite est la courbe représentative 1 t. I, n° 57) de la fonction linéaire la plus générale.

Le coefficient m caractérise la direction de la droite, comme cela

montrer que deux courbes C et C0 sont égales, on effectue un déplacement d'axes (sans déformation) tel que l'équation transformée de C„ (ou de C) devienne identique à l'équation non transformée de C ("u de C„).

(x) S'il l'était, l'équation serait de la forme x — const. et représenterait une parallèle à Oy. De même, si A = o, on a une parallèle à Ox.

résulte du numéro précédent. Aussi l'appelle-t-ou le coefficient angulaire ou encore la pente de la droite.

Le terme constant // est l'ordonnée du point d'abscisse nulle ou point de rencontre de la droite avec Oj. On l'appelle ordonnée à l'origine.

La parallèle D0 menée par l'origine a pour équation

Le point (1, m) en l'ait partie; on peut donc prendre Les nombres 1 , m comme paramètres directeurs de D (n° 2o) ( * ).

Si les axes sont rectangulaires et si a désigne l'angle polaire de D, arbitrairement orientée, on a, par suite,

cosa sina'

(•23) m — tanga (*).

On peut déduire de cette interprétation géométrique simple la formule qui donne l'angle V de D avec D'. Nous savons que cet angle est défini à k~ près (n° lo). Sa tangente est seule déterminée sans ambiguïté. Nous pouvons donc prévoir qu'elle seule pourra se calculer sans double signe, c'est-à-dire sans radicaux (3), Effectivement, si a désigne l'angle polaire de D', nous avons

(24) V = a'—u + kiz:

d'où

. , ., , , tantôt' — tanga m' — m

(-23) tangY=tang(a — a)

1+ tanga' tanga i — mm' Celte formule est à retenir. Si l'on revient aux coefficients

(') Un système quelconque de paramètres directeurs étant formé par les composantes d"un vecteur quelconque porté par D, on en conclut que le coefficient angulaire est le rapport des composantes suivant Oy et Ox d'un tel vecteur,

(2) L'angle a n'est délini qu'à /. - près (n° 15); mais sa tangente est entièrement déterminée.

(3) Nous avons déjà vu (n° 66) que le calcul de cosV introduisait des radicaux. Comme tangY' n'en introduit pas, sinY en introduirait aussi.

8o CHAPITRE VI.

A, B, A', B', en comparant (20) à ( 21), on a , , ,r AB'— HA' ,

En écrivant que tang Y est nul ou infini, on retrouve les conditions (iq) et (1 5 ). En partant de (25), la condition d'orthogonalité s'écrit

(27) mm'-\- 1 — o.

On peut donc dire que pour que deux directions soient rectangulaires^ il faut et il suffît que leurs coefficients angulaires aient pour produit — 1.

69. Droites particulières. — L'axe des x a pour équation y = o. Son coefficient angulaire est nul. Une droite parallèle a une équation de la forme y = const.

L'axe des y a pour équation x = o. Son coefficient angulaire est

infini ( m — — = — ). Une droite parallèle a une équation de la forme

x = const.

La première bissectrice, ou bissectrice de l'angle formé par les parties positives des axes, a pour équation

comme le vérifiera sans peine le lecteur, en observant que le contour

des coordonnées d'un point de cette droite forme un triangle isoscèle.

Le coefficient angulaire est 1. Une droite parallèle a une équation de

la forme

y — x = const.

L'autre bissectrice, ou seconde bissectrice, a de même pour équation

donc pour coefficient angulaire — 1 . Une droite parallèle a une équation de la forme

y -H x = const.

(') Pour le cas où les axes sont obliques, voir Ni, n" 112 à 118.

70. Construction d'une droite donnée pab son éqi iriON. - En principe, on construit deux points particuliers vérifiant l'équation et unies joint par une droite. Le choix seul de ces points peul varier

d'un exemple à l'autre. On s'arrange pour que leurs coordonnées se calculent le plus aisément possible.

La plupart du temps, on cherche les points sur les axes. ( )n a Le point sur Ox, par exemple, en annulant y dans l'équation el résolvant ensuite par rapport à x. Citons, à ce propos, la forme importante d'équation

qui met en évidence les points en question. Le point sur Oj" a pour abscisse a et le point sur Oy a pour ordonnée b.

Réeiprocpiement. si l'on connaît les points de rencontre d une droite avec les axes, on peut écrire instantanément son équation sous la forme < 28). Ceci ne s'applique toutefois qu'autant que la droite ne passe pas a V origine. Dans ce cas particulier, on cherche un point en donnant à x une valeur quelconque non nulle, telle que 1. et cherchant la valeur correspondante de y. En particulier, si la droite est donnée par son coefficient angulaire, on construit le point (1 , m \.

71. Régions positive et négative d'une droite. — Soit la droite D représentée par l'équation | 1 1. Elle partage le plan en deux régions. Nous savons (n° 56) que l'une est dite positive, parce que ses coordonnées rendent positif le premier membre /(./. r 1 de 1 1 \. L'autre région est dite négative.

Pour distinguer les deux régions, on peut substituer les coordonnées d'un point particulier, comme il a été expliqué au n"o0. ( )n peut aussi remarquer que si l'on mène, par un point M0 de D, le

vecteur M0M de projections A et B, ce recteur se trouve dans la région positive. En effet, les coordonnées de M sont #0-|-A, r0-f-.B. Leur résultat de substitution dans/(#, y) est

(AJrd+ B^o-t- C | - 1 A?- B-) = A* + B*,

puisque M0 est sur D. 11 est bien positif.

Haag. — Cours, II G

72. Equations paramétriques. — Au lieu de représenter une droite par son équation, il est souvent plus commode d'utiliser ses équations paramétriques (n° io). Rien n'est d'ailleurs plus aisé que d'établir relies- ci, et cela indépendamment de tout ce qui précède.

I. La droite est définie par un point et par sa direction. - Soit la droite D issue du point M0i xn. y0 ) et de paramètres directeurs (or, b). Soit M un quelconque de ses points, dont nous voulons calculer les coordonnées x, y. Supposons d'abord les paramètres directeurs unitaires ( n° 25 |. Nous prendrons pour paramètre variable

(29) MoM^p.

En projetant le vecteur M0M sur les axes, nous a\ons (nos 23 et 17 |:

x — x0= :.a, jr — y0z=?b:

d'où

Si a et b ne sont pas les paramètres unitaires, on a encore les mêmes formules. Seule, la signification de a est un peu changée :

•-1 \ est le vecteur de composantes a, b. on ;i

Dans tous les cas, on peut dire que p est proportionnel à MftM.

Les c des points M0 et à l'infini sont respectivement <> et y-.

Les formules (3o ) nous prouvent une nouvelle fois que la droite est une ligne algébrique [et même unicursale (n° 264)] du premier degré. Du reste, si l'on \eut obtenir l'équation implicite, il suffit d'éliminer p ( n° 58 ). ce qui donne

Lorsque les axes sont rectangulaires, on peut écrire (3'2) x — x()-+- p cosç, y = y0 -+- p sin ç,

■^ désignant l'angle polaire de la droite, par cela même orientée.

II. La droite est définie par deux points. - Soienl M, ./■,. r, i et M2(.r2. y. 2 ) ces deux points. On pourrait d'abord se ramener au cas précédent, en prenant a = x-2 — xt, b .— yx — V-> [projections du

vecteur M jM2 7, puis M0 en \l,. ou en M2. ou au milieu de M,M2 si l'on ne veut pas détruire la symétrie, (l'est ainsi que L'équation ( 3i I donnerait, par exemple,

x-2 — xi y-i — y\ Mais, on peut procéder directement. Posons

M.Mo Nous avons ( n" 23 i

Remarquons que les j des points M,. M2. à l'infini el au milieu de M, M2, sont, respectivement, o. ce, — i . -\- i .

73. Droite de l'infini et droites imaginaires. - I- équation générale des droites en coordonnées homogènes est ( n" ii i

(36) \X — BY-t-GT = o.

Or. considérons l'équation particulière

Elle est de la même forme que | 36 I et l'on est conduit à dire qu'elle représente une droite. Mais, si l'on revient en coordonnées ordinaires, elle s'écrit i = o, ce qui est absurde. Gela n'est d'ailleurs pas ('-tonnant, si l'on se souvient que l'équation < o~ | caractérise les points à l'infini du plan in" 39). L'équation (3j) n'a donc aucun sens, du point de vue de la Géométrie élémentaire. On convient de lui en donner un, du point de vue analytique, en disant qu'elle représente toujours une droite. Cette droite, purement conventionnelle, constitue le lieu des points à l'infini du plan et, pour cette raison, s'appelle la droite de l infini.

On peut aussi la considérer comme la limite d'une droite dont les

CIIU'ITRK VI.

points de rencontre uc, 3 avec les axes, et, par suite-, ions les points, s éloignent indéfiniment de L'origine. Il suffit, pour s'en rendre compte, d'imaginer que les coefficients A et B de l'équation (36) tendent vers zéro, C restant lixc et non nul. L'équation limite

obtenue de la sorte n'est autre que (3^). D'autre part, O a == — — et < Vjj = — — augmentent indéfiniment ; a et (3 vont bien à l'infini.

Malgré ([ne la droite de l'infini soit une pure conception analytique, à laquelle nous a conduits la considération des coordonnées cartésiennes homogènes ((j, nous en parlerons toujours comme d une droite ordinaire. C'est ainsi que nous dirons que les points à l'infini d'une ligne et, en particulier, le point à l'infini d'une droite sont les points de rencontre de cette ligne ou de cette droite avec la droite <le l'infini. C'est là une façon fort commode de parler, dont l'introduction en Géométrie est tout à fait féconde, ainsi qu'on pourra s'en rendre compte dans la suite de cet Ouvrage.

Observons que la droite de V infini n'a aucune direction déterminée. Son coefficient angulaire, m = — tt, se présente, en effet, sons la forme illusoire — (t. I, n" 126 ).

7i. Lue droite est imaginaire (n° 55) si son équation possède an moins un coefficient complexe ( - ), c'est-à-dire est de la forme

I* et Q étant des fonctions linéaires réelles, dont la seconde n'est pas identiquement nulle.

Théorème I. Toute droite imaginaire possède un point réel et un seul.

C'est le point de rencontre des droites P = o, Q = o (n° 55). Il peut être accidentellement, à l'infini, >i ces dernières sont parallèles

(') Nous verrons (t. III) qu'elle s'introduit aussi tout naturellement dans la théorie des projections coniques.

(-) Il faut de plus, bien entendu, qu'il ne soit pas possible de rendre les coefficients réeh en les divisant par un même facteur.

ou bien'si l'une d'elles est la droite de l'infini, ce qui arrive si I une ou l'autre des formes P et Q se réduit à une constante.

Théorème II. — Deux droites imaginaires conjuguées se coupent en un point réel.

Car ce point est le point de rencontre précédent dés droites P = o, Q = o.

Théorème III. — ■ La droite qui joint deux points imaginaires conjugués est réelle.

En effet, le milieu de ces deux points M, et Ma est réel I n" 37 i. De plu». les paramétres directeurs de la droite qui les joint sont proportionnels aux projections x2 — x{ ety2 — Vi du vecteur MjM2. Or, ces projections, différences de quantités imaginaires conjuguées, sont des imaginaires pures ( t. I. n" 32). Si on les divise par ù on obtient des paramétres directeurs réels. La droite M, M2 a donc une direction réelle. Comme elle a un point réel, elle est réelle.