II. — PROBLÈMES DIVERS

7o. Droites passant par un point fixe. — Soit un point donné M„( x0, y0). Nous nous proposons de déterminer analytiquement la droite la plus générale qui passe par ce point.

I ne première méthode consiste à se servir de la représentation paramétrique I du n° 72, en choisissant arbitrairement a, h. Si l'on veut ensuite particulariser la droite par une condition relative à >a direction, il suffira de donner h ces paramètres des valeurs convenables. C'est ainsi que si l'on cherche la perpendiculaire menée par M0 ^> une droite D donnée par V équation ( i) en coordonnée-, rectangulaires, on peut écrire immédiatement ses équations paramétriques sous la forme (n° 66)

(3g) a?=^a?a,-t-pA, y = y0-+- ?B.

On peut aussi chercher l'équation générale des droites qui passent par M0. Partons de l'équation (Y), où A, B, C ont des valeurs quelconques. Ecrivons que la droite représentée par cette équation passe par M0 ; nous obtenons l'unique condition à laquelle doivent

satisfaire A. B, C : «

' i<:> i Ajd-tB/d-î-C^o.

Nous pouvons, par exemple, choisir arbitrairement A et B et résoudre par rapport à C. En portant dans (i ) ou, ce qui revient au même, en retranchant i Jo) de (i), nous avons l'équation générale demandée

«40 vo — #,>)-+- B(jk — y«) = o-

où, répétons-le, A et B sont arbitraires.

En fonction du coefficient angulaire, elle s'écrit

Comme application, on peut écrire instantanément l'équation de

la droite menée par M0 perpendiculairement à la direction de cosinus directeurs a. h < n " 06 I :

<" 4 -> i at.r — x0) -+- b(y — y0) = o.

En particulier, si la direction donnée est définie par son angle polaire ~^. \ équation i \ 3 i - écrit

(44) i ./■ — x0 i cos © -+- (y — y0 ) sinç = o.

76. 11 peut arriver que le point M0 soit défini comme riant l'intersection de deux droites données i P) et (Q i. d'équations respectif es

Dan> ce cas, duc faudrait pas se croire ohligé de calculer le> coordonnées ./0. r„ pour avoir l'équation générale cherchée. Celle-ci peut, en effet . s'écrire

où X désigné un paramètre arbitraire.

D'abord, il est évident que la droite | \o i passe par M0, quel que soit A, car les coordonnées de Mfl annulent P, Q, donc P-4-XQ. En outre, elle peut coïncider avec n'importe quelle droite M0û passanl par M„. En effet, prenons un point M, sur M0ô, autre que M0-

Calculons a pour que ce point vérifie (45); nous axons I équation

(46) P1^-Xo, = o,

qui détermine X de manière unique, car \\ et Q, ne peuvent être nuls tous deux, puisque M, n'est pas à l'intersection de (P) et (Q).

Le. paramètre A étant ainsi calculé, la droite < {5 > a deux points communs M„ et M, .avec M0o, donc coïncide avec elle.

Ceci peut sembler en défaut lorsque Q, = o, c'est-à-dire lorsque M0 Z coïncide avec (Q)- Mais alors, il suffit & admettre la valeur X = oc. L'équation (45), divisée au préalable par À, se réduit à Q = o et représente encore M0^-

On peut éviter cette légère objection en prenant l'équation ( [5 i sous la forme homogène

(47) XP-^;jlQ = o.

À et u étant tous deux arbitraires. Le paramètre \ de tout à l'heure

est ici y* On a la droite (Q) en prenant simplement X= o, de même

que (P) est donnée par u = o.

Les équations (45) et (47) conviennent encore lorsque M0 est à l'infini] c'est-à-dire lorsque ( P) et (Q) sont parallèles. 11 suffirait, pour le voir, de passer en coordonnées homogènes. Le raisonnement précédent s'appliquerait sans aucun changement. On peut aussi vérifier que, quel que soit A, la droite (45) esl, dans l'hypothèse actuelle, parallèle à (P) et à (,0 ). Nous laisserons au lecteur le soin de le faire.

Les équations ( {5 i ou ( \~ ) représentent ce qu'on appelle un faisceau de droites. Le point M0 est le sommet ou point de base du faisceau.

Théorème. — Si l'équation d'une droite renferme un paramètre variable h au premier degré, la droite passe par un point fixe.

Car, si l'on ordonne par rapport au paramètre, on obtient une équation delà forme (45). Le point fixe est obtenu en annulant séparément le coefficient de A et l'ensemble des. termes indépendants de A ou, plus généralement, en prenant l'intersection des droites correspondant à deux valeurs particulières de A, qu'on choisit de manière à avoir des simplifications, quand c'est possible.

77. Faisceau de droites ayant pour sommet l'or k.i.ne. — 1 héorème. - Toute équation algébrique. Jiomogène en x, y et de degré p, représente un faisceau (') de /> droites passant à l'origine.

Soil

is f(r,y} = o

cette équation. Divisons-la par xp , elle devienl i t. I. n° 133)

ou

en posanl — = m. L'équation i {g i en /// est algébrique et généralement de degré/?. Elle admet p racines m,, ra2 n::>\\. I, n° 219).

Pour qu'un point vérifie I {g i, il faut el suffit qu'il vérifie l'une des équations

mxx.

Or, ces équations représentent p droites passanl à 1 origine. Lensemble de ces p droit»- constitue la courbe définie par i {8) el le théorème esl démontré.

Remarques. - - I. L'énoncé précédent n'est général que si l'on admet les droite- imaginaires correspondant ;iu\ racines imaginaires de | î<) i et -i l'on compte pour x droites celle qui correspond à une racine multiple d'ordre a.

II. Il peut arriver que le degré de l fg) soit abaissé <le q unités. ( iela indique alors que / 1 ;r. y i renferme .ri en facteur. L'équation I (8 I esl «loue vérifiée pour x = o, quelque soit y. Notre faisceau coin prend alors ()) . qui doit être compté q fois; moyennant quoi, I énoncé esl toujours général.

L'équation | Jp) -appelle /'équation aux coefficients angulaires des droites du faisceau ; le lecteur voit pour quelle raison. < )n l'obtient en l'ai -nul ./ = i, y = m dans | J8).

(') L-e mot faisceau a ici un sens un peu différent tle celui qu'il ;i\;iit au numéro précédent; il ne comprend qu'un nombre fini de droites et non pas une infinité.