ROJECTIQN DUNE AIRE PLANE
Soit une courbe fennec et
orientée (G), tracée dans un plan oriente P. Soit maintenant un autre plan oriente I*'. Projetons ortliogonalement (C) sur I''. suivant (C), et orientons (C) au moyen de (Ci, c'est-à-dire que si un
LE PLAN ET LA DROITE DANS LESPACE. IOI
point M décrit (G) dans le sens positif, sa projection M' devra décrire ( Ci dans le sens positif.
Cela posé, nous avons déiini, au n° 174 du Tome I. les .tires algébriques A et A' limitées par ( C ) et (C). Nous allons prouver que si a désigne l'angle de nos deux plans orientés, c'ëst-à-dire l'angle de leurs normales positives (n'J 27), on a la formule
i i: i A'= A cos©.
A cet etïet, prenons le plan P' [tour plan des x' y d'un trièdre trirectan°le Ox'y'z'. Faisons tourner celui-ci d'un angle ç autour de <>./'. ce qui l'amène en Oxyz (' ). Nous pouvons prendre Oxy pour plan P. Or, nous savons (t. I, u° 174) que A et A' sont données par les intégrales définies
/ xdy, A'= / x'dy\
où la variable d'intégration t est choisie de telle manière que, lorsque t croît de t0 à £,, M décrive ( C i, en entier, une seule fois et dans le sens positif.
D'autre part, les deux premières formules du changement de coordonnées i n" 34 ) nous donnent, en supposant ^ nul,
(3g) x'='àc, y' = ycosf,
car les coordonnées de M' sont les deux premières coordonnées de M par rapport à Ox'y'z'. Portant ces valeurs dans A', nous obtenons
i \t)j A = / x dv coso = coss / x dy = A coso. c. Q. F. D.
Une démonstration plus élémentaire consisterait à admettre l \- 1 en valeur absolue, ce qui est une proposition bien connue, et à vérifier ensuite l'identité des signes dans tous les cas de figure possibles.
Si l'on applique la formule (3y) aux projections S.,-, S,, S- sur les plans de coordonnées d'une aire S située dans un plan oriente par
(') Le lecteur est prié de taire la ligure, s"il en éprouve le besoin.
IOÎ CHAPITRE VII.
les cosinus directeurs a, b. c de sa normale, on a
i ii) S.,.= S.rt, SV=S.Z>, Ss=S.c.
Elevant au carré et ajoutant, nous avons la formule intéressante
I 41 ) S* -H S* -H SJ = S» ( a1 -+- bl -T- C2) = S- .
On peut l'appliquer, par exemple, à un triangle A<A2A3 de l'espace, en prenant, conformément au n" <S2.
Xi Vi I
a-2 Vi 1 x3 y-.i 1
93. Volume d'un tétraèdre. — Soil le tétraèdre A,A2À3AS, défini par les coordonnées rectangulaires ( ' 1 de ses sommets. Nous nous proposons d'évaluer son volume algébrique, défini de la manière suivante :
Orientons le plan A2A3A4 par le sens de parcours A2A3A, sur le périmètre du triangle A2A3 V, 1 n" 13 1. Le volume Y sera positif ou négatif suivant que le point A, se trouvera <l<uis la région positive ou dans la région négative du plan ainsi orienté 1 n" 11 1.
abaissons la hauteur \,II. appelons S la surface absolue du triangle A2 A 3 Ai, qui est aussi son aire algébrique, d'après la ((invention faite précédemment pour l'orientation de son plan. On a, en
grandeur el en signe (44)
Il \, ciani comptée positivement suivant la normale positive au plan A2A3A,.
Si «, 6, e sont les cosinus directeurs de celte normale. 1 équation canonique du plan AjA^A, est de la forme
et Ton a ( n" 83
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1 ' J Pour le c;is des a\c^ obliques, voir Mm, " *-'■
LE PLAN ET LA DROITE DANS L ESPACE
Mais l'équation du plan A.>A3A., peut aussi s'écrire i n° 91
Xi y 2 z, i
xk yk cv i
En comparant les coefficients Je x dans i {5 i et ( \~ i. <>n voit que
ïï ~ «
en appelant S.,, l'aire algébrique de la projection du triangle A2A3A4 sur j'O; cl s appuyant sur le numéro précédent. Par suite.
