I. - LE PLAN

83. Equation pi plan. -- De même que la droite en Géométrie plane, le plan, dans l'espace, est représenté par une équation du premier degré ( i V A x — B y -4- Cs -j- D = o, '

et réciproquement. Ceci peut se démontrer en généralisant les raisonnements des n"s 04 et 6o. Reprenons seulement celui du n" Go.

Les axes étant supposés rectangulaires, nous nous proposons d'établir l'équation d'un plan donné I*.

Abaissons de O la perpendiculaire sur P et orientons-la par une demi-droite Oa, de cosinus directeurs rt, b, c. Soit maintenant Q l'intersection de P avec O A. Nous posons p = OQ. Les quatre nombres a, b, c. />, dont les trois premiers sont liés par i n° 24)

déterminent complètement la position du plan P. Nous les appellerons les coordonnées normales de ce plan.

Quand un plan sera défini par ses coordonnées normales, il sera toujours orienté, sauf indication contraire, par la demi-droite Oa (n°27).

Cela posé, soit un point M (x, y. z) de l'espace. Projetons-le orthogronalement en R sur P. Nous allons calculer <l = RM. distance duplan au point, comptée positivement suivant OX.

Nous avons l'égalité géométrique

( 3 ) OQ -+- Q H — R M = x -+- -y -4- ; .

(l) On peut prendre, par exemple, a = sin 8 eus p, 6 = sinÔ sin y, c = cosô ( n° 30).

LE PLAN ET LA DROITE DANS L'ESPACE. g5

Projetons-la orthogonalement sur Oa :

p-r-d^xa-^-yb-r-zc; d'où

, , d=ax-\-by — cz — p.

En annulant d, nous avons l'équation du plan I', sous la forme normale ou canonique

(5) ax ■+■ by -t- cz — p = n .

Elle est bien du premier degré en x,y, z.

Réciproquement, l'équation (i) représente un plan, quels que soient A, B, C, D. En elFet, elle représente la même surface que (5), si Ton prend (n° 48)

En axes obliques (2), tout plan est aussi représenté par une équation du premier degré et réciproquement, puisque le choix des axes est sans influence sur le degré (n" 48).

Si. Si l'on revient aux axes rectangulaires, la normale au plan P représentée par r équation (i) a pour paramètres directeurs A, B. C, coefficients de x,y. z. Si l'on veut les cosinus directeurs, on

peut prendre , , — Un oriente

ainsi la normale dans le sens du vecteur (A, B, C), d'où résulte

l'orientation du plan.

L'angle de deux plans orientés P et P', étant défini par l'angle

de leurs normales, est donné par la formule

AA'-hBB'-+-CC

I 7 i cos \

v/A2^ B*-hC*\/A'*-hB'*-+- C'2 La condition d' or tho tonalité s écrit (8) AA'-*-BB'-i-CC'=o.

La distance du plan (i) au point M(a?, y, s), comptée positive-

(-) On peut aussi établir une équation canonique. .Cf. Nui, n°' 47 et 48.

ment suivant le vecteur (A, B. C), est

85. Comme au n" 67, on démontrerait que si D varie, A, B, G restant fixes, le plan se déplace parallèlement à lui-même, même si le> axes sont obliques. En particulier, on a le plan parallèle mené par V origine en supprimant le terme constant :

( 10 ) A/+ Y>y — Ce = o .

On en déduit la condition de parallélisme des plans P. P :

L'a condition pour que le plan P soit parallèle à la direction de paramètres directeurs a, b. c s'écrit

(12) Aa+B6 + Cc = o,

car elle exprime que le plan (10) contient le point (a. //. c) et, par suite, la parallèle à la direction proposée menée par l'origine.

Comme au n" 71, on démontrerait que la région positive du plan peut être indifféremment caractérisée, soit par le signe de Àa;4-B)' + C: + I). qui doit être le signe + pour tout point de ladite région, soit par le vecteur (A, B, C), qui doit s'y trouver si on lui donne pour origine un point du plan.

Signalons enfin l'équation

abc

qui est commode lorsqu'on définit le plan par ses points sur les axes (OA = «, OB = b, OC = c), mais qui cesse d'être applicable quand le plan passe à l'origine.

Si l'on suppose, par exemple, c infini, l'équation se réduit à

et représente un plan parallèle et Qz, comme d'ailleurs toute équation du premier degré ne renfermant pas z (cf. n" 47).

LE PLAN ET LA DROITE DANS L ESPACE. 97

Les plans de coordonnées et leurs plans bissecteurs ont pour équations {cf. n" 69)

tSG. Plan del'l\ki.m et plans imaginaires. — L'équation générale des plans en coordonnées homogènes s'écrit

(i5) A.X-f-B¥ + CZ-f-DT = o.

L'équation

est de cette forme. On est donc conduit à dire qu'elle représente un plan, bien qu'elle conduise à une absurdité, si l'on revient aux coordonnées ordinaires. Pour les raisons qui ont été exposées au n" /3, • m dit que l'équation (16) représente le plan de l'infini, lieu des points à l'infini de l'espace et position limite d'un plan dont les points de rencontre avec les axes et, par suite, tous les points, s'éloigneraient indéfiniment de l'origine.

Les points à l'infini d'une ligne sont ses points de rencontre avec le plan de l'infini. Les points à l'infini d'une surface constituent une li^ne plane, section de la surface par le plan de l'infini.

En particulier, les points à l'infini d'un plan quelconque de l'espace constituent une droite, intersection de ce plan avec le plan de l'infini; c'est la droite de l'infini du plan (n" 73).

(S7. Un plan imaginaire a une équation de la forme

(17) P + f'Qio,

P et Q étant des fonctions linéaires à coefficients réels.

Tout plan imaginaire possède une droite réelle; c'est la droite d'équations (n° 55)

Deux plans imaginaires conjugués se coupent suivant une droite réelle, qui est la droite précédente.

<S8. Plans passant par un point fixe. — L'équation générale des Haag. — Cours, II. 7

plans qui passenl par le point M0( J„. r„. s0 I peut s'écrire (19) A x — a:0)-!-B(j — y0) ■+- C(z — z0) = o,

A. B. C étant arbitraires. Cela s'établirait en répétant Je raisonnement du 11 7o.

Comme application, on peut écrire instantanément l équation du plan mené par M„ perpendiculairement à la droite de cosinus directeurs a. 6, c. soit (n° 84)

! 20) a (x — x0)-\- b (v— vu) -+- c(z — z0) = o.

11 peut arriver que le point M0 soit défini par l'intersection de trois plans (' ) :

On peut alors ('(rire l'équation générale cherchée sous la forme

I 22) ÀP-r- flQ-+-VR= 0,

, . 'h. v étant arbitraires. Cela se justifie par un raisonnement analogue à celui du n" 76.

Les plans (22) constituent un réseau de plans, dont le point M„ est le sommet ou point de base.

L'équation (22 t peut aussi s écrire, sous forme non homogène,

I 23) P -f- /. Q — ;jl R = 0.

89. La condition pour (pie quatre plans soient concourants se trouve en généralisant les raisonnements du n" 80. Soient les quatre plans

( Pj = A1a;4-B,j-t-C1*-+-D1 = o,

\ Pj= \o.r-4- B,k — Css-4- D,= o.

i P3= A3a; -+- B:iy -i- C-,z -+■ D3= o,

Pour qu'ils aient un point commun à distance finie ou à l'infini, il faut et il suffît que l'on ait

(25) Il a, t;,- <;:, n, |! = o,

(') It peut alors être à l'infini.

LE PLAN ET LA DROITE DANS L ESPACE

ou encore qu'on puisse trouver quatre nombres a,, X2, a3, a-, non tous nuls donnant lieu à l'identité

X, Pi-+-X2P2-+-X3P3-+-X4P4 0.

90. Plains passant par une droite fixe. — Si la droite est donnée par deux points M0, M,, à distance finie ou à l'infini, on prend un plan quelconque (il et l'on écrit qu'il passe par M0 et M,. On obtient de la sorte deux conditions entre A. B, G, D, desquelles on peut toujours tirer deux des coefficients en fonction des deux autres.

Supposons maintenant que la droite soit définie comme intersection de deux plans : P = o, Q = 0. En raisonnant comme au n° 76, on prouvera que l'équation générale cherchée est de la forme

Les plans (27) ou (28) constituent un faisceau de plans, dont la droite lixe est la droite de base.

Condition pour que trois plans aient une droite commune. — Pour que les trois plans 1 P, ), (Pj), (P3) aient une droite commune, il faut et il suffit que Von puisse trouver trois nombres /.,. Aj, \4 non tous nuls donnant lieu à l identité

( 29 ) >. 1 lJi -+- À2 P, + a;j P3 = o.

(Répéter identiquement le raisonnement du n" 80.) Il revient au même de dire que les trois formes linéaires 1 3o ) p; ■ = A , • X -+■ B, Y -+- C/ Z + D, ■ T

doivent être dépendantes (t. I. 11" 295). Ceci exi^e, comme on sait il. I, 11" 29C). théorème I), la nullité des quatre déterminants du troisième ordre déduits du Tableau

A, B, G, Di (3i) A, B, G2 D2

On arrive au même résultat en exprimant que le système linéaire et liomo-

1(1(1 gène

possède deux variables non principales (t. f, n° 290), comme cela doit être si les trois plans ont en commun tous les points d'une droite.

91. Plah passant par trois points. — En raisonnant comme au n Si, le lecteur trouvera que le plan passant par les trois points M^X,, Y„ Z„T|), M2(X2, Y2, Z2, T2), M:!< \3. ï a, Z:i, T3) a pour équation, en coordonnées homogènes,

Si les trois points sont à distance finie, on peut aussi l'écrire

Si l'un des points est à l'infini, il suffit d'annuler son T dans l'équation (33). C'est ainsi que le plan passant parle point M,, à distance finie et parallèle aux deux directions de paramètres directeurs (•#, b, c), (a', //, c) a pour équation

ou. en retranchant la deuxième ligne de la première et développant suivant la dernière colonne.