LA DROITE

94. Eovrriovs o'lwk droite. — Toute droite I). pouvant être définie comme intersection de deux plans ( I' ) et ( P'), peut être représentée par deux équations du premier degré

(5i) P^A^^B/+C:-D = o, P' == A'./- h- M'y -t-Cs— D' = o.

qui sont ses équations < 11" 50 |.

Luc certaine indétermination réside dans le choix de ces équations,

provenant île ce (ju'il existe une double infinité de manières (*) de définir une droite donnée comme intersection <le deux plans. On peut remplacer les équations (5i ) par les suivantes :

où a. ).', ;j.. m. sont quatre constantes assujetties à l'unique condition

: ". ; - 1'/ — À' ;jl - o.

'En particulier, on peut toujours prendre pour équations d'une droite celles de deux de ses plans projetants. On pourra prendre, par exemple, les plans projetant sur ;0.r et sOjk, à condition qu'ils ne soient pas confondus, circonstance qui ne peut se présenter que pour, une droite parallèle à xOy. Si donc la droite I) n est pas Dfirallèle au plan des ry. on peut écrire ses équations sous la forme particulière i - )

(54) x = az-r-p, y = bz--q,

où a1 b, p. q sont quatre constantes, déterminées en même temps que D. Ceci nous prouve, en passant, que la droite la plus générale de l'espace dépend de quatre paramètres indépendants ,.çe qu'on peut d'ailleurs voir de bien d'autres manières.

Si la droite I) est.parallèle à xOy, on peut la déterminer par le plan qui la projette à la fois sur zOx et zQy et par le plan qui la projette sur xOy] on a ainsi les équations

La parallèle D0 à la droite D représentée par les équations i "> i |: menée par l'origine, est obtenue en menant par O les plans | P0) et i P'0) parallèles à (P) et ( P'). Ses équations s'obtiennent par simple suppression des termes constants ( n" <So i. soient

A x -4- By -t- C s - o. A'.r -+- B'y -+- C s = o.

(') C'est-à-dire dépendant île deuv paramètres arbitraires.

(2) x (igure nécessairement dans la première équation, parce que la projection de D sur zO.v n'est pas parallèle à O.r (n" (18). I>e même, y ligure dans la seconde. H ne faut pas attacher une trop grande importance'aux équations (54), qui ont l'inconvénient de détruire la symétrie des coordonnées et de ne pas convenir à toutes les droites ( cf. ne 08 ).

LE PLAN E F LA DROITE DANS L ESPACE. I O

De ces équations, on peut tirer ((. I, n° 292 )