BG — CB' = GA.'— AC = AB '— BA

Il en résulte (n° 2o ) que les quantités BC — CB , CA — AC '. AB — BA' peuvent être prises comme paramètres directeurs de D0 et, par suite, de D.

95. Equations paramétriques. — Nous avons les mêmes équations qu'en Géométrie plane, avec simplement une coordonnée de plus.

1. La droite est définie par un point et par sa direction. — Soit Mn(.ro, j'oi -■{)) le point et soient a. b. c les paramètres directeurs de la droite. Comme au n° 72, on montrerait que les coordonnées d'un point quelconque M de I) sont

(56) x = x0-h pa, y = ya~-zb, s = z0-\-pc,

p désignant M0M ou une quantité proportionnelle.

En éliminant p, on a les équations de la droite sous la forme

x — x0 V—Xo s—z0

Comme application, on peut écrire instantanément les équations, en coordonnées rectangulaires, de la perpendiculaire au plan i i | menée par M0. Il suffit < n" 84) de remplacer, dans i 56) ou i V i, a. b, c par A, B, C.

II. La droite est définie par deux points. Soient M, t.r,, rf, S|) et -M2 (#2) }' -2i zi) ces deux points. On pourrait d'abord se ramener au cas précédent, en prenant a = x-2 — x,, b =y-2 — y m c= z-2 — ^t

(cf. n" 72). Les équations I 5- i donneraient, par exemple,

~ • • MM, -

(Jn peut ainsi poser t==t =- — A; on a alors 1 l MM,

96. Distance d'un point \ i .m: droite. — La méthode à employer diffère suivant la manière dont la droite est définie.

Premier cas : La droite est (Je fin le par un point et par ses cosinus directeurs. -- Soient M0( ./0. }'„, ,50) le point et a, 6, clés cosinus directeurs. Sait,, d'autre part, le point M, (.r,, y{, ;, i. qui se projette orthogonalement en P sur D. Le triangle Fectangle M0PM, nous donne

Or | n° 177

M0M, = (xt — x^Y+iy^— y0 )*-+-< zx— z0)-.

En second lieu, Sl^P est la projection, sur D, du vecteur M„M,. qui a pour coin j >< >>;mtes suivant les axes xt — #„, V\ — yo- z , z0. On a donc

M0 P = a (ar, — ./„ I -H b [ yx — y0 ) -4- c |

En portant (62) et (63) dans (61), on a le carré de la distance cherchée.

Si l'on veut les coordonnées du point. l\ il sut'lil d'appliquer les équations < 56 1 en prenant pour z la valeur < (j.'î 1.

Si Ton veut la perpendiculaire M, P, on peut remarquer que Ton en connaît deux points : M» et P. On peut aussi la déterminer par le plan'perpendiculaire à D mené par M| (n° 8«S 1 :

a(x — Xi | — b (y — yt H- c (s — Zy) = o

et par le plan M, M0l)i dont l'équation peut s'écrire, par exemple, en s'appuvant sur l'équation ( 36 ).,

Nous laissons au lecteur le soin de découvrir les légères modifications qu'il convient d'apporter aux résultats précédents quand a. />. c sont seulement proportionnels aux cosinus directeurs.

Deuxième cas : La droite est définie par deu c plans. — Soienl les plans

P== Ax-h by — Cz — D = o. Q s A' x — Wy — C z — D'= o.

t.E PLAN ET LA DROITE DANS L ESPACE. IO7

Cherchons le plan (H) mené par l) perpendiculairement au plan I I). M, ). Il nous suffira de prendre ensuite la distance de M, à ce

plan.

I .es plans ( Il i et i I ). M, I <>ni des équations de la forme < n° 91) >

(67) P + )lQ = o.

Pour 1 I ). M , 1. on a I', -)-).(), = o ; d'où 1 équation

(68) PQi— QPi=d.

Le /. du plan 1 II » sera obtenu en écrivant l'orthogonalité des plans

1 ()- ) et ( l>8 1. Nous laissons au lecteur le soin d'expliciter les calculs, qui offrent peu d'intérêt avec des coefficients tous littéraux et quelconques: La méthode seule importe.

Remarque. — Dans le cas particulier où les plans 1 P ) e/ (Q) sont rectangulaires , il est aisé de voir que le carié de la distance cherchée é<;ale la somme des carrés des distances de M, à ( P) et à i O i. On se ramène donc immédiatement à un problème connu 1 n" «Si i.

En particulier, si la droite est parallèle à un plan de coordonnées, par exemple, s il s'agit delà droite 1 ."">.> 1 parallèle au plan x Oy^ on aura

/, / vo ' Xx + By+C ■'-'

(*>$) <*» = <*.— &)» v*^ir-

car les équations ( 55 ) représentent deux plans perpendiculaires.

!)7. Pli s coi rte distance de DEi x droites. — Ici encore, il v aurait lieu de distinguer plusieurs cas. \ u la complication du problème,

nous nous bornerons à considérer celui où les deux droites so/t( données par un point et leurs cosinus directeurs.

Soient I) déterminée par M0i .r0. r<)- ~-<\ » el le- cosinus ( a. b. c 1 el I) déterminée par M, 1 ./■,, r,. zt) et les cosinus {a. //. c). Soit, d autre part, PP'la perpendiculaire commune aux deux droites. Nous allons chercher les quantités M0P = 0 et M, P — 0 . Pour cela, écrivons que PP est perpendiculaire à I) et à 1) .

Les paramètres directeurs de PI' sont, si l'on veut, les projection?

de PP sur les axes, c'est-à-dire

x{— p'a'— i.r„ — pa), >-, — p' 0' — ' y*— ;/": ;i-;"-';-;fj.

Les conditions de perpendicularité à I) el i )' sont i n° 31)

S a (xt — ./•„ ■+- p'a' — pa) = o, S a'(xy — x0 ■+- p'iz' — pa)=^o ou

j p'i aa'->r bb'-hcc')—? = a (x0—Xi) — /> (yo—fi) ■+■ c (~0— ~i • ( 70) \

( p'— pi </«'--- 66 -+- ce') = a (a?0— #1) + ^'(j'o — Ji) — c (z0— zt).

En résolvant ce système par rapport à :. 0 et portant dans les équations paramétriques de I) et I). on aura les coordonnées des points P et P. d'où la droite PP' et la distance PP . Nous laissons encore au lecteur le soin de développer les calculs. 11 aura avantage à introduire l angle "V des deux droites, dont le cosinus figure dans (jo)

comme coefficient de 0' et de z. Le cas particulier où "V -— - donne lieu à des simplifications manifestes.

98. Droites imaginaires. — On appelle droite imaginaire l'intersection de deux plans imaginaires. Une telle droite I) est donc représentable par deux équations de la forme

(71) P-iO = o. P'H-tQ'=o,

P. Q, P. Q' désignant quatre fonctions linéaires à coefficients

réels (').

Une droite imaginaire na en général aucun point réel et ne se troi+ve clans aucun plan réel. En elîet, si un point réel vérifiait les équations ( 7 1 ), il vérifierait les suivantes :

qui sont généralement incompatibles ( - ).

De même, si un plan réel passait par D, il aurait une équation de la forme (n°90)

I ;3 , (Xh-i»(P -4-ï.Q)-+.(X'.-f-ty)i P-'+ t'Q') =0,

À, ;ji, /.', y.' étant quatre constantes réelle* telles que le coefficient de i dans

(73) soit nul, c'est-à-dire telles que l'on ait

('j Si P' et Q' sont des combinaisons linéaires de i'. Q, la droite est réelle; nous supposons qu'il n'en est pas ainsi.

1-1 II revient au même de dire que les droites réelles A et A' des plans (P-Hi'Q)et (P'+ÏQ'j < 11 ' iS7 ) m- se rencontrent pas.

l.K PLAN ET LA DROITE DANS L ESPACE. 1 09

identité généralement impossible pour des valeurs non toutes nulles de À. p.,

(jn sait d'ailleurs que la condition d'existence d'une telle identité et lacondition de compatibilité de* équations (72) sont des conditions équivalentes. Donc, si une droite imaginaire a un point réel, elle est dans un plan réel et réciproquement .

Deux droites sont imaginaires conjuguées lorsque l'une d'elles est l'intersection des plans imaginaires conjugués des plans qui définissent l'autre. La droite conjuguée de (71) est donc

Théorème. — Si deux droites imaginaires conjuguées sont dans un même plan II 1, ce plan est réel, ainsi que le point de rencontre des deux droites.

En effet, tout plan réel coupe les deux droites suivant deux points conjugués. La droite qui joint ces deux points est réelle 1 n" 74). Donc, le plan ("Il 1 est coupé suivant une droite réelle par tout plan réel. Il est, par suite, nécessairement lui-même réel. On sait maintenant que deux droites conjuguée» tracées dans un plan réel se coupent en un point réel 1 11" 74)