O ) AC = AU -+- BC

Extension de la formule de Chasles. — Au lieu de trois points, prenons-en un nombre quelconque n, tous sur r'x, que nous appellerons A,, A2, A3, . . . , A„. Je dis que Ton a

(4) A-tAs-f- A2A3-t-. . .+ A„iA„+ A»Ai = o.

Nous le savons déjà pour n = 2 et 3 | formules (1) et (2)].

Dès lors, raisonnons par induction : admettant l'équation j . établissons la suivante :

(5) A, A, -h A2A3-H. . .+ A^-jA,, -h A„A„+1-+- A„+,A, = o.

En retranchant ( 'î) de (5), nous sommes ramenés à prouver

(6) A„ A„+i + A/t+i Ai — A„A,= o,

ce qui résulte de (1) et (2).

La formule (4) est donc générale. Elle peut encore s'écrire

(7) A[A„= A, Aa-H A* A3 -t- •• . . -*- A„!A„.

10. Abscisses. — Quand on veut étudier des ligures tracée^ sur une droite, il est commode de se servir d'abscisses.

On commence par orienter la droite. Puis, on y choisit un point fixe O, qu'on appelle origine des abscisses, ou simplement origine. À chaque point INI de la droite, on fait alors correspondre le nombre relatif

qui est dit son abscisse. Ce procédé établit manifestement une correspondance parfaite (-) entre l'ensemble des points de x x el l'ensemble des nombres relatifs. 11 permet de substituer les seconds aux premiers, ce qui est le fondement de la Géométrie analytique.

( ' ) Il faut la connaître par cœur, sous les formes (2), (3) et (9), sans aucune hésitation. Elle dispense complètement de regarder la figure. (3) Cf.: Cours, t. I, p. 22, note 1.

Problème. - - Connaissant les abscisses ./ v et xu des points A et B, calculer AB.

La solution est une conséquence immédiate de la formule de Chasles. Si, en effet, on applique celle-ci aux trois points O, A, B, on peul écrire

ÛÂ -»- Â~B -+- BÔ = o ou

.rv-f- AB — xb = o:

il où I on lu'''

i 8 ' Al> = ick — xK.

Ce qu'on ('nonce :

La mesure algébrique d un vecteur égale l'abscisse de Vextrémilé moins l'abscisse de l'origine.

Non- ferons un usage excessivement fréquent de cette proposition qui, au fond, ne diffère pas de la formule de Chasles.

Changement d'origine. — Supposons qu'à l'origine O, on substitue une nouvelle origine O', définie par son abscisse x0 = 00'. Si x désigne la nouvelle abscisse de M, on a, d'après (8),

ou

(lO; X = Xa-r- X'.

On a, de la sorte, indifféremment la nouvelle abscisse en fonction de l'ancienne ou l'ancienne en fonction de la nouvelle.

11. Courbe orientée. — Etant donnée une ligne courbe quelconque, on peut l'orienter, tout comme une ligne droite, par le choix d'un certain sens <le parcours comme sens positif .

On oriente du même coup toutes ses tangentes par la convention suivante. La tangente en M ( /ig. 2) sera orientée dans un sens tel que deux mobiles partant de M et se déplaçant dans le sens positif. l'un sur la courbe, l'autre sur la tangente, se trouvent du même côté de la normale en M dès qu'ils ont quitté ce point. La demi-droite

GRANDEURS ORIENTEES. PROJECTIONS.

directrice AIT ( n" 15) de la tangente ainsi orientée sera appelée La demi-tangente positive en M.

Nous allons voir à présent ce que deviennent les considérations exposées plus haut, quand on remplace l'axe x'x par une courbe orientée.

Deux cas sont à distinguer :

Premier cas : Courbe ouverte. — On a absolument les mêmes définitions et les mêmes formules que sur la ligne droite, avec cette seule différence que les vecteurs sont remplacés par des arcs orientés. La mesure algébrique d'un are d'origine A et d'extrémité B se représente par AB.

Si l'on choisit, sur la courbe, une origine des arcs, chaque point M

est déterminé par son abscisse curviligne s = OM.

Deuxième cas : Courbe fermée. — Soit une courbe fermée {Jig- 2), sur laquelle nous choisissons un sens positif, indique par la flèche. Prenons deux points A et B et proposons-nous de définir la mesure algébrique AB. On éprouve tout de suite des difficultés, parce qu'il va deux arcs d'origine A el d'extrémité B, ce qui n'avait pas lieu pour la courbe ouverte. Il y a même une infinité d'arcs commençant en A et se terminant en B. si l'on admet qu'un arc puisse s'enrouler indéfiniment sur lui-même, dans un mus ou dans l'autre. Voici, dés lors, la définition que nous adopterons :

On représentera par le symbole AB tout nombre relatif a obtenu

de la manière suivante. Imaginons qu'un mobile parte de A, se déplace sur la courbe dans un sens quelconque, sans jamais rebrousser chemin, traverse le point B autant de J'ois qu'il lui

plaît, mais s' a rrèt e finalement en ce point. Il aura peu couru une longueur de courbe dont la mesure sera la valeur absolue de a. De plus, s'il a tourné dans le sens positif, a sera positif ; s' il' a tourné dans le sens négatif, a sera négatif.

D'après cola, le symbole AB représente une infinité de nombres, <jui sont appelés ses différentes déterminations. Ces nombres sont liés les uns aux autres de manière très simple. Considérons d'abord les déterminations positives. Elles sont obtenues lorsque le mobile va dans le sens positif. Si a/ désigne celle qu'on obtient en arrêtant ce dernier au moment où il arrive pour la (A -|- i )"'nu' fois en H, on a évidemment

On xjc=%0-+-'kL,

en appelant L la longueur totale de la courbe fermée. De même, si (3* désigne la i /. + iy,,me détermination négative, on a

(12) P*=Po-*'L.

De plus, il est évident, sur la figure, que

a0-H[iu| = L

ou

Mil y..,— ,B0=L, j30=a0— L.

De la comparaison des formules (ii), (12), (i3), résulte que toutes les déterminations sont comprises dans la formule générale

OÙ k désigne un nombre entier quelconque, positif, négatif ou nul.

12. Les formules (1), (2), (3), (4) sont encore vraies dans le cas actuel, à condition d'ajouter /r L aux seconds membres, le nombre entier k dépendant du choix des déterminations des différents arcs figurant dans les relations. Démontrons, par exemple, la formule de Chasles pour trois points :

04) AB-4-BC-t-CA*=#L.

Supposons d'abord qu'en tournant dans le sens positif, on ren-

GRYNDEURS ORIENTEES. PROJECTIONS. 1 3

contre les points dans l'ordre ABC {Jig. 2). Si AB0, BC0? CA0 désignent les plus petites déterminations' positives, la figure montre qu'on a

ABo-f-BCo+G\o=L-

Comme on a les déterminations générales AB. BC, CA, en ajoutant aux précédentes des multiples entiers de L, le premier membre de (i4) ne saurait être qu'un multiple entier de L.

Si les points se présentent dans l'ordre ACB, on a

AG-hGB-+- BA = AL,

ce qui revient à (i4) en changeant tous les signes.

Sur une courbe fermée, on définit encore Yabscisse curviligne

du point M par 5 = OM. Mais, il n'y a plus de correspondance parfaite entre les points et les nombres. Si l'on se donne s, on en déduit bien un seul point M. Mais, a un point M donné, correspondent uniinfinité de valeurs pour s.

La formule (8) devient ici

(i5) AB = iB-iA+/(L.

De même, les formules (9) et (10) deviennent

(16) s' = s — Si, -h /,L.

( 17 ) s == 50-t- s' H- kh.

13. Angles. — Définissons d'abord ce qu'on appelle plan orienté.

Un point fixe O étant pris dans un plan, .une droite peut pivoter dans le plan et autour du point dans deux sens différents. Si l'on convient de choisir l'un de ces sens comme sens positif de rotation, on dit que le plan est orienté.

Le choix du sens positif est évidemment indépendant du point O. On peut, par exemple, prendre comme terme de comparaison le sens des aiguilles d'une montre.

Quand une courbe fermée convexe est tracée dans un plan orienté, on peut V orienter dans le sens du plan. \ oici ce que nous entendons par là. Prenons le point fixe O à l'intérieur de la courbe. Faisons tourner la demi-droite O). dans le sens positif. Le point M

I î CHAPITRE H.

où elle rencontre la courbe décrit celle-ci dans un sens qui est, par définition, le sons positif.

Inversement, quand, dans un plan, on a orienté une courbe fermée convexe, on peut orienter le. plan dans le sens de la courbe.

1 i. Cela posé, prenons, dans un plan orienté, deux demi-droites issues du même point, OA el OB {fig- ■ >). Elles déterminent un

Fi g. 3.

angle, au sens élémentaire du mot. Mais, si nous convenons de leur faire jouer des rôles différents, appelant par exemple OA coté origine et OB côté extrémité, nous obtenons un angle orienté. Nous le représenterons par le symbole (OA, OB) [énoncez : angle de OA acec OB, en nommant le premier le côté origine].

Nous allons définir la mesure algébrique de cet angle dans le plan orienté. A cel effet, du point O comme centre, traçons un cercle de rayon i. Orientons ce cercle dans le sens du plan ( n" 13 ). Nous obtenons le cercle trigonométricjue. Soient a et b ses points de rencontre avec OA et OB. Par définition, la mesure algébrique

de l'angle (OA, OB) est la mesure algébrique de l'arc ab sur le

cercle orienté. On la représente par la notation \ OA, OBj.

Si Ton se rcpoiir au n° 11, on voit qu'il existe une infinité de déterminations différant entre elles de multiples entiers de 2tt, car la longueur L du cercle trigonométrique est égale à 27:. Si a désigne l'une d'elles, on a

i.HWDEURS ORIENTEES. PROJECTIONS. l>

Quel que soit À-, les lignes trigonométriques de U)\. ( )Bj sont entièrement déterminées.

La formule de Chasles s'applique encore et s'écrit, par exemple,

(18) (oa, ob) ■+- (ob. de) -f- ((5c, oa) = il-.

Angle polaire d'une demi-droite. — Choisissons une demidroite fixe issue du point O, soit Ox, que nous appellerons X axe polaire. Nous appellerons angle polaire d'une demi-droite quelconque Oa, l'angle de Ox avec OX, soit oj — U )x, OX/. Il n'esi déterminé qu'à 2 A-ré près. Mais, inversement, sa connaissance détermine complètement OX.

Si wA et wR désignent les angles polaires de OA et OH, on a

(19) (OA, OBJ = w n - «A -f- 2 k - ;

ce qui s'énonce (cf. n° 10 ) :

La mesure algébrique d'un angle égale V angle polaire de V extrémité moins l'angle polaire de l'origine, à 2 A- près.

Les formules du changement d'axe polaire sont

(21) w = co'-h u>o-t- a Aie.

Remarque. — Si Ton a seulement besoin des lignes trigonométriques de IÔA, OBJ ou de ses multiples, on peut négliger, dans la formule (19), le terme 2/»-, qui n'a aucune influence. Il n'en sérail plus de même si l'on voulait calculer les lignes trigonométriques des

sous-multiples de \OA, OB/.

lo. Extensions diverses. — Les considérations précédentes s'appliquent immédiatement à des demi-droites tracées dans un plan orienté à partir de points différents de ce plan. Il suffit de leur substituer, pour toute question d'angle, les demi-droites parallèles el de même sens ( •) issues du point fixe O.

(l) Par analogie avec la lliéorie des vecteurs ( n° 99), nous qualifierons d'équipollcntes des demi-droiles parallèles et de même sens.

!>«■ même, od peu! considérer des axes ou des vecteurs tracés n'importe où dans le plan orienté. On substitue à chacun d'eux ce que uous appellerons sa demi-droite directrice, c'est-à-dire une demi-droite issue de O, parallèle à l'axe ou au vecteur et dirigée dans le sens positif de l'axe ou du vecteur.

Soient maintenant deux droites non orientées D et D' tracées

dans un plan orienté, Nous appellerons \D, D'y [énoncez : angle de D avec D'] l'un quelconque des angles obtenus en orientant arbitrairement les deux droites. Si l'on observe que le fait de remplacer l'une ou l'autre des demi-droites OA et OH par la demi-droite opposée a pour unique conséquence d'augmenter ou de diminuer

de - chacune des déterminations de \OA, OBj, on voit que ^D, D'y est déterminé à un multiple quelconque de - près. On peut écrire

Parmi les lignes trigonométriques de \D, D'y, la tangente est seule déterminée sans ambiguïté de signe.

La formule de Chasles s'applique encore, mais à k~ près.

Imaginons à présent deux demi-droites (ou deux axes) dans un plan non orienté. Leur angle sera défini en orientant arbitrairement le plan et choisissant arbitrairement le côté origine ^t le côté extrémité. Si l'on observe que le changement d'orientation du plan, ainsi que l'échange du côté origine avec le côté extrémité, ont pour seul effet de modifier le signe des différentes exterminations, on voit que l'angle \ de nos deux demi-droites est donné par une relation de la forme

Parmi ses lignes trigonométriques, le cosinus est seul déterminé sans ambiguïté de signe.

Remarques. — I. Dans le cas actuel, les deux demi-droites (ou axes jouent le même rôle. Aussi, peut-on dire « l'angle de ces deux demi-droites », sans énoncer l'une avant l'autre, comme il est nécessaire dans un plan oriente'1.

II. Lorsqu'on a affaire à deux demi-droites ( ou axes) tracées dans l'espace et non dans un même plan, on mène les demi-droites équi-

(iRAM)El'RS ORIENTEES. PROJECTIONS. 17

j)ollcntcs (ou directrices) à partir d'un point fixe O. Ces dernières déterminent alors un plan qui, en général, n'est pas orienté. ( >n se trouve donc dans les conditions qui viennenl d'être examinées.

On pourrait enfin envisager deux droites non orientées dans un plan non orienté. On serait conduit à des déterminations de la forme /.-±:a. Les Lignes trigonométriques ne seraient plus déterminées qu'en valeur absolue, la tel cas est. sans intérêt pour nous.