Calculer la dérivée de y^^arctançr ( )• — Nous avons

•^ "^ \i — ajc j

affaire à une fonction de fonction ( n° 71). Si Ion pose uz^ , on a

' I — ax

j)^ :=: arc tang;/. D'où ( n°^ 71 et 78)

Or (n''70)

(I — a:r\{x-^a)' — (x-\-a)i\ — ax)' i — ax -{- a{x -*r- a) \ -^ a-

(I — axf {I — ax)'^ (I — ax}^

Donc

(x-i-a/' U — axf- (i — ax )-~ {X -^ a)' (i — ax )-

Telle est la dérivée demandée.

Dans la pratique, lorsqu'on a acquis quelque habitude du calcul des

dérivées, on se dispense de poser, ainsi que nous l'avons fait, u = •

I — ax

On le fait mentalement et l'on écrit directement

I I — ar-+-a(x-i-a) i

( I — axy-

Remarrjue. — Le lecteur n'est pas sans avoir remarqué la simplicité du résultat obtenu. Il doit même observer que la dérivée calculée est identique à celle de la fonction arctang.v (n° 78). D'où il résulte que la différence y — arctang.3; doit être constante (n'' 64 'i. C'est ce qu'il est aisé de vérifier.

Posons

arc tang^r = a, y — arc tanga; = ^ = y — x.

Pour prouver que [3 est constant, il suffit de faire voir que tang |3 l'est. Or

tan£;v — tanga langS = tang( y — a) = — —

D'autre part,

lang^ = ) tanga = a7;

d'où

ce -+- a

„ 1 — ax a(i -4- .r- ) tang 3 = ^ — = — ;— = a ■= const,