Etudier la dérivée n''^""^ de y
On a
, , — ix .,__ Ç>x'-—i ,„ i.\x(\ — x'^)
On peut induire la formule générale
où P;j désigne/ait un polynôme de degré n, ne renfermant que des termes de même parité ( * )•
Pour prouver la généralité de cette formule, procédons par récurrence. Admettant l'égalité (2), nous avons
( I -4- .r2 ) P; -2 ( rt -u , ) xV „ P„+ 1
Le numérateur est un polynôme en a'. Son degré est /< + i, si le terme en x"'^^ de ( i + j:- ) P^^ n'est pas détruit par le terme analogue de i{n -\- i) xVn- 0'% si a^Jc"^ est le ternie de plus haut degré de l*„. celui de P„+, est
na,iX'^-*-^ — 2(/t -H i)a„x"^^ = — (n -h 2)a„x"-^^,
(') Celte dernière pro|)riét<; esl évidenlc a /niori si l'cm iciiuii(|ue que >' est une foncliun paire, donc y' une fonction impuirc. y" une fonriiofi paire, elc.
■>4 CIIAPITIU: V.
qui ne peut être nul. Donc P„^-l est bien de degié // -t- i . En outre, P„ ne renfermant que des termes de même parité, il en est de même de P^,, (i -h j"^) 1^„, 2 ( n + i)a: P„, donc de P„hi- I-'^s propriétés prévues sont donc evactes. De plus, nous asoiis la formule de récurrence
(3) P„H-i= II 4-.r2)P;— ^in-HD.rP,,.
Il est aisé de calculer le ternie de j)lus haut degré a,iX" de P„. Nous venons de voir, en eOet, qu'on avait
formule de récurrence linéaire e-t homogène, qui donne (Note I, n°31'i.), en remarquant que «„= i,
Je dis maintenant (|ue le poh/innie P„ a toutes ses racines réelles et distinctes. En eflet. ceci est manifestement vrai pour /j^i, cî, 3. Pour montrer que c'est général, admettons la propriété pour P„ et prouvons qu'elle a encore lieu pour P„^-l. Soient a,, a.,, . . . , a„ les racines de P„. Pour X =: (Xp et a^,4 i, la fonction y'"' s'annule. Comme elle est continue et que sa dérivée j'*"'^') est toujours finie, cette dernière s'annule entre a,, et «^,4-1, en vertu du théorème de Kolle ( n" 61). Il s'ensuit que P^^-i a au moins une racine dans chacun des /? — i intervalles {y.^,a.2), {aç,,y.^),... (a„i, a„).
En second lieu, y'" s'annule pour .r = ±00, car le degré du dénominateur de la fraction {•?.) surpasse celui du numérateur (n° 120, II). Donc, y(n-^\.) a aussi au moins une racine entre — ce et a, et entre a„ et + œ (').
Nous trouvons en tout au moins n -\- \ racines réelles et distinctes (-) pour P„4-i. On sait, d'autre part (n° 219) qu'il ne peut y en avoir davantage. Ceci prouve que, dans chacun des n + i intervalles précédemment considérés, il y a une racine et une seule.
Finalement, les racines de P,^^-l sont toutes réelles, distinctes et séparées par celles de P„.
On obtient des résultats intéressants en appliquant la formule de Leibniz (n° 09) au produit
rO) yy,\^x--) = \.
(') Nous admellons ici que le liiéorèaie de Holle s'clcnd au cas où rinlervalle (a, b) devient infini, ce qui esl à peu près évident si l'on imyi;inc que b tende vers -t- «-, ou bien a vers — ^.
(') Elles sont distinctes, parce (juc sé/iarées j)ar les nombres a,, a,, ..., a„.
FONCTIONS D LNK VARIA ItLE REELLE. 2J
Prenant la dérivée {n -+- 2)'^™'' des deu\ membres et remarquant que les dérivées de i -i- x- sont nulles dès le troisième ordre, nous avons
(7) ^i"-i-2 (1 ^ X- ) ^- i( n -t- ■» ).r)''"-^i'-f- ( rt -+- -2 M /J -r- i)y-" = o;
ou, d'après (2),
(8j P„+2-^'i(.n^'2)xPn+i^(n + 'î)(n-^i)(\-hx^-)P„ = o.
Cette relation de récurrence ne renferme pas de dérivée [comme (3)]. mais intéresse trois poivnomes consécutifs. On peut la combiner avec (3). Si Ton y remplace P„.2 par (i+.r-) P„i — 2 ( /< -h 2) j? ?„,,, aile se réduit à
En dérivant (3) et tenant compte de (9) on a maintenant
(10) (l-^ T- )P'i, — 2«xP,', -i- /i(7i -H I iP/i = o,
équation différentielle linéaire du second ordre (n° 196), qui va nous permettre de calculer sans peine les coefficients de P„ (Cf. exercice résolu n'^ 1, Ch. W ).
Soit a ^xP le terme général. Annulons le coefficient de xP dans (10)
a !,+=,{ p -r- îji p -^ \ ) -^ a /, pi p — 1) — inpa,,^ n( n ^ 1)0/,^ o, ou
ip-~i)(p — -2) (il) (',, = -«/>+2-
D'autre part, nous savons qu'il n'v a que des termes de même parité et nous connaissons a„. Nous avons alors
( n — un
Multipliant membie à membre et tenant compte de (5), nous
avons
( 2 CJ I I !
cuAPrmE V.
ï. Etudier les variations de la fonction y r=: sina- -H - sin 3^ ( \i. P.,
La fonction est définie et continue quel que soit x. Elle admet pour période ir. (n°66); de sorte qu'il suffit de prendre pour intervalle de variation un intervalle quelconque de longueur ir.. De plus, la fonction est impaire; par suite, si Ton a pris pour intervalle initial ( — Tr,+ 7r), on est ramené à l'intervalle (o, 7:), quitte à faire une symétrie par rapport à l'origine. Pour réduire encore, essavous le rliangement j? [ 71 — x\ il ne modifie pas y. Cela nous iiidi<[ue une symétrie par
rapport à la droite .c =: — et réduit noire intervalle de variation
à (o, — ) (*). Ce dernier ne peut plus être diminué, car le changement
.X œ modifie la valeur absolue de y.
Prenons maintenant la dérivée
y = ces 37 -f- cosSar.
Elle s'annule pour d'où
CCS 3 a; = — cosa:^ = cos(- — x)^ ix = 2/17: ±(~ — X ) = {'îk -+- \)T. ± X.
La seule racine de cette équation comprise entre cet- est ~ , comme
' ai
le constatera aisément le lecteur. D'ailleurs, pour x = o. y' = 2. et pour
xz^ - > -j y = ; donc y est > o entre o et - et <C o entre - et -•
Nous pouvons maintenant dresser le Tableau suivant :
Doù la courbe ci-contre {Jîg. 2), que l'on complétera par une symétrie
(') Quand a; décrit cet intervalle, - — x varie de t. i\ — ; la rciinion des <lenx iiilervalles donne bien l'intervalle («, - }.
FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE
par rapport à B y, puis par une symétrie par rapport à 0, et enfin par les translations ±: 27:, ± /Jtt. . . . , suivant Ox.
Fig. 2.
„ I, . . , arcsina?
o. Variations de y ^ —
La fonction n'est définie que dans l'intervalle (—1, +0; ^ cause du numérateur. Elle est impaire, ce qui réduit notre intervalle à (o, H- i), tout en indiquant, pour la courbe représentative, une symétrie par
rapporta l'origine. Elle devient infinie pour a- = -• Prenons la dérivée
vA
— ba; arc sina;
Il nous faut le signe du numérateur N. Or, nous ne savons pas trouver directement ses racines, qui sont données par une équation transcendante. Nous devons alors expliquer une des méthodes indiquées au Chapitre XXII.
On songe tout d'abord à étudier les variations de N. Mais, en prenant mentalement sa dérivée, on constate que arc sin.r ne disparaît pas; on serait donc encore conduit à la résolution d'une équation transcendante. On évite au contraire cette difficulté, en mettant x en facteur dans N, soit
8 arc %w\x
et étudiant les variations de z.
Cette nouvelle fonction est définie et continue dans tout Tinlervalie
(o, +i), les bornes exceptées. On a maintenant (')
.rHi — T-)
( 4,r"- 1 M '2 .5 Il
quantité qui cliange de signe pour x zzz - el x= ~^- Nous formons le
Tableau auxiliaire suivant, où nous indiquons seulement les signes de -c.
On voit que z s'annule, en passant du négatif au positif, pour une certaine valeur a^, comprise entre "P et i (-). Nous pouvons à présent dresser le Tableau des variations de y :
— ce
-i- ce
On a d'ailleurs
arc sin3"i i\x\ — i
(') Nous nous servons, pour ce calcul, de la dérivée d'un radical (n° 9i
(-') Klle est même com|irise entre -2— el i, car, pour x = — > - est égal a
FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE
OU, en se rappelant (jue .ï, annule z.
SX\ \/i — x'î
Nous traçons enfin la courbe représentative, qui a l'allure suivante {Jlg. 3). Le point A est un point tVarri't; la tangente y est parallèle
Fifî. 3.
à Or. La tangente en O est la deuxième bissectrice. La droite x z= - est
asymptote. Ajoutons enfin qu'en faisant la symétrie signalée au début, on obtient la courbe tracée en pointillé.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Soit une fonction /'(.i-), qui, dans l'intervalle (a, b), admet une dérivée dont la valeur absolue reste inférieure à un nombre iixe A. Etant donné un nombre positif £, déterminer un nombre rj tel f|ue l'oscillation de la fonction soit inférieure à s dans tout intervalle plus petit que n.
{Cf. n" 59, Théorème IV. — Appli([uer la formule des accroissements finis )
2. Calculer approximalivement, à l'aide de la formule des accroissements finis, les quantités suivantes : sinSg", cos 4G°, arc tang 1 ,023, (1 ,001 )" — 2( I ,001)'.
3. Si /(j:) et ,;'(.r) sont deiiv fonctions finies et continues dans Tinlervalle («, b), y admettant des dérivées finies et ne pouvant s'annuler
3o CHAPITBE V.
sinuillanémeul; si enfin g{b) :^ g{a), on a
en appelant c un nombre compris entre a et b.
[Généralisation de la formule des accroissements finis. Se démontre dune manière analogue, en considérant la fonction
h. Calculer les dérivées des fonctions
ciT -^ b ax--\- bx -^ c .r ' -i- 3 a--' — x -k- -i
7> — ; — ; p }> ; > sin"*a: cosar,
cx-rd ax'--\-bx-^c x^ — x — i
tangf '■ r)j arcsin— 5^ > arctang^ . ;irc tang[(sina"-j-*].
5. Calculer les dérivées des fondions suivantes et expliquer les résultats ( C/. exercice résolu n" 1) :
arccos(2:r2 — i), arcsin(3a^ — 4^'*)j arctang— ? arc taiig
arc sin(cos.r). arc sin (a cosa" -l- p sina") sachant que a-+ (3-= i ,
