Calculer la dérivée de y

On pourrait calculer cette dérivée en passant par le logarithme, comme nous l'avons déjà fait dans des cas analogues. On peut aussi remarquer que y est une fonction composée. C'est ce que devient la fonction de trois variables w =^ «'"^, quand on y remplace ii. ç^ iv par a:. Appliquons alors la formule ('4) du numéro 130. On a

— =(;"'?<'•■ -1 — = u'" \ozu (\'i>^^'~^, — = w loir?< p"' loirt' ;

Ou ov ^ Ow ® °

d'où

y' = x'^x^"'-^ -^x-^'+^logx -T- .r-^'+-^(loga;)2 = x-^""-*-^ - -f- logx -i- (\ogx)- .

2. L'équation a:( sin ' — ;- e' ) — /•>' =^ o définit y comme fonction

dv implicite de X. Calculer -j- • ( E. P., igog.)

Appliquons la formule (k^) du numéro 13o. Nous avons

. r - I y y i - \ sin :^ r- ey -\- x\ — — - cos i e^

-cos— - ^ ./• X

ex — /.-

On peut essaver de simplifier celte formule en tenant compte de

l'équation proposée. Remplaçons au numérateur sin — + e' par A' - ;

il vient

, — A- h — cos ey — — A- -T- cos f ' ,

dy X X X y .r \ .r y- I y

ces ■ — e> — k cos '■ — e> — k

6'2 CIl.\PITRli X. — FONCTIONS OE PLlSIEinS VARIAULES.

Comme on le voit, on arrive à une formule excessi\ emenl simple. On en peut déduire d'ailleurs, par intégration (n° 188), — =: const. Ce résultat pouvait être prévu. En efi'el, Téqualion proposée est homogène.

Si l'on pose - ^ z, elle peut s'écrire

sins -+- e' — A - = o,

d'où l'on tire nécessairement z = const.

EXERCICES PROPOSÉS

1 . Calculer les dérivées partielles du premier et du second ordre des fonctions

z = e^ cosj»', Il = <?' sinj)': z = e-^°-y° cosiry, u = e^'-y^ sinsay ;

ce V ce z = sin — ch —H r? « = — ces sh

x^-hy- .v^-i-y- x--\-y- x^H-y^

Vérifier les identités

âz du ôz du ()- z r)'^ z ô- u à- u

i)x ây ôy êx ôx- ' Oy'^ ' âx- ~^ dy^