ue deviennent les expressions

AU) = ( — ) -r- ( - ^ • / ^

dx

d'-ti) à-i<} d-u)

Ajw = -f- -— - -\ -,

dx- dy- dz-

à la suite du changement de variables de l'exercice n° 2 ?

68 CIIAPITRK XI. — DIFFKRENTIELLES.

12. UeprenanL les équations (i), (2), (3) de l'exercice résoki n° 2, calculer les dérivées partielles premières et secondes de ;, {/. o par rapport à .r et >'.

13. Par quelle fonclioii faut-il multiplier (lang j:-1- tangy ) {d.t-\-c/y) pour obtenir une difTérenlielle exacte? (Poser .r -i- j=z u ,)

IV. Par quelle fonction de .r -h y -h ^ faut-il multiplier l'expression

(y -+- ^)yz dx -^- ( z ^ x)zx dy -+- (x -h y)Ty dz,

pour obtenir une diflérentielle exacte?

lo. Par quelle fonction faut-il multiplier l'expression

pour obtenir une difTérentielle exacte ? ( Poser y -h z ^rz u, xy =-. c.)

INTÉGRALES DÉFINIE ET INDÉFINIE

EXERCICES RÉSOLUS

1. Etant donnée l'intégrale 1= / /{■^)'^'^t où ii et v désignent

deux fonctions données d'un paramètre t, calculer la dérivée -7- •

Cette question est une généralisation de celle qui a été traitée au n° 14-8. Nous allons, pour la résoudre, procéder d'une manière analogue. Donnons à t un accroissement A^ et soient A«. Ar, AI les accroissements correspondants de m, r, I. On a

Ih-AI= f f{x)dx^ f -r- f -^ f ;

d'où

AI

Appliquons la formule de la moyenne (n° lio) :

AI = Ap/(P-f- 0 Aci — A;</( « -h 0' A» ) (o < 0, 0'<i);

d'où

Supposons maintenant que A^ tende vers zéro; nous aurons, à la limite, en admettant l'existence des dérivées de a et c,

d\ dv du

7ft=-^''^d-t-'^^''^lïï-

liemarque. — Si l'on suppose « = const. .= a, c = /, on retrouve la formule du n" li8.

2. Différentiation sous le signe j . — Calculer la dérivée par

rapport à t de l'intégrale

a et b désignant deux constantes et f{x, t) une fonction donnée des deux variables x et t.

Donnons à t l'accroissement It. Nous avons

(i) ■^' = / /(-fri-^^f^^^-^—f f{3c,l)dx.

'- il ' Il

d'où (n° lio, 3°)

'T f(x,t^\f)~f(x,ty

AI ^ r"vf(.T,t^it)~f(x,t)i

dx.

Faisons tendre A^ vers zéro, nous avons à la limite (*)

dt . I Ot

3. Limite, pour n infini, de - ^ (« -h i ) (« + 2) ... in. Cette expression peut s'écrire

Prenons son logarithme

l.^tr .

logP„:

Iog( I H I -h. . .-i- loKl 1 H

(') Ceci suppose toutefois la propriété suivaiilc : si la fonction g{i>\ t) lonii

vers g{x) pour < = o, Tinlé^rale I,= / g{x. t) dx tend vers I„— / g{x)clx.

•il '- n

Eiïectivemcnl, supposons que \t\-V<, ciiliiiine. quel que soila; entre a cl //.

On aura

g(x, t) — g{x)\dx

rJapri's la définiiion même de l'intégrale définie; d'où, etc.

INTEGRALES DEFINIE ET INDEFINIE. JI

dont la limite n'est autre que la valeur moyenne de la fonction log.r dans l'intervalle (r, 2), (n° Vt-6). On a donc

lim(logP,;)= / log.r rf.r = [:p( logx — i)J[ = •). log2 — i = log-;

par suite, la limite de V,, est -•

ï. Calculer à y^^ près l'intégrale définie

1 = / ■i\\^{x-)dx.

Cette intégrale ne peut être calculée par la méthode des primitives. Appliquons-lui la méthode des trapèzes.

Cherchons d'abord quelle valeur il faut prendre pour n pour que l'erreur soit inférieure à toô- Puis nous ferons nos calculs auxiliaires de façon qu'ils n'entraînent pas une erreur supérieure à tt^^. Nous serons alors assurés dune erreur totale plus petite que ^q-

La dérivée seconde de sin(j;-) est 2Cos(.r-) — 4'^'sin (.r-). Si Ion

remarque que sa dérivée est négative dans l'intervalle ( o, i/- jj son maximum est 2 et son minimum est

2 ces I — 4 sin I > 2 cos-l; — 4 *iii "T = ' — 2 \/3 >

Une limite supérieure de sa valeur absolue est donc

Dés lors, déterminons h par linégalilé (n° 150)

2 1 2 uoo

ou

Le plus petit nombre entier vérifiant cette inégalité est n = 7. Nous prendrons donc (n° 150)

, 1 /sin i .1 .4 M . iT) . -i'j . 3G\

I = sin , — r- sin H sin ; -\- sin h sin 1- siii — •

Calculons avec 2 décimales chaque terme de la parenthèse, mais en

-2 ClIAl'ITUl': MI.

la dernière s'il v a lieu, de façon à avoir une erreur moindre que t;',„.

ce qui nous donne pour la parenthèse une erreur plus petite que y^^ et

une erreur plus petite que .^',„ pour 1.

Si nous consultons une Table de sinus naturels, nous constatons que,

pour avoir deux décimales il suflil de calculer les arcs en grades à

lo' près. Or, on a

1 G3 ,667.0 = 6J,7 sin I =0,84

d'où

- sm I = Oj4?.

— I ,•>.<)(»>- =1,1 sin -— = 0,02

— 5,1060= 5,/ sin — = 0,08

-^ I 1 .()<) H) = I I .7 sin — =0,18

— sin— =0,49

— 4 (')--!()= 4(1, 8 sin — =0,67

2,18 Finalement

Pour nous rendre compte de la valeur de la méthode de Simpson, appliquons-la en prenant seulement n =; 2. Nous avons

l = -isin--4-Mni= = o,3i.

On retrouve le même résultat.

Autre nu'lhode (n" V.'rl). — Déveloj)j)ùns sin (a;-) en série entière; nous avons. (|uel (|ue soit a- (n" 107),

Intégrons terme à leime (n" 102) :

ri sin(x2)c/jr = - — - ■ ^ . ..-!-(- I)" . -r— — -)-.... .. „ '> 4'^- '>!ii (•>.« -f- I)! (4n -t- 3)

l'renons, par exemple, les IroiN premiers termes. L'erreur commise sera

INTKC.UAI.ES DKFIME ET INDÉFINIE. ji

négative el inféiieure à

7'ij 7)boo 73000 à looooo

Prenons ensuite

-— = o,oi3 8oq,

Nous avons trois erreurs <r - — L'erreur totale est donc certainement

io«

inférieure à

3 11)-' 10'' 3 10-^ lo-'

On obtient de la sorte

I = 0,3 10281, et Ion peut écrire

I = o,3io?. par défaut, I = o,3io3 par excès.

Comme on le voit, cette seconde méthode est plus avantageuse que la première.