H- 4 /3 4- (3 <i + I i ^ -H 1 i log ( / — I j
l = x-^i-h— (x^i)^-+- 3Cjr-+- ij-5-i- \(x -h i)- + (Ua- + !)•♦
-1- I2(a: + l)* 4- 12 log(v/^ -r- I — l).
3 . L'équation .v'^-{- y^ — .xy = o définit y comme fonction implicite de X. On considère, dans VinterK'alle ( o, - ) pour .r, la branche y définie par la plus grande racine. Calculer l'intégrale
dx.
L'équalion proposée représente, en coordonnées cartésiennes, une courbe unicursale (t. II). Si l'on pose, en ellet, y ^ /.r, on en déduit
dx ■=
( I — 2 /•'' ) dt
Moyennant quoi, notre élément dillérenliel devient
(i — ■}.t^)dt t<i -t- f^ )(i— ( -h l-)'
CALCUL DES QIADRATIRES. 8l
Il nous faut clierclier maintenant dans quel intervalle il faut varier t
pour que x croisse de o à -■, y prenant en outre pour valeurs successives
les racines supérieures de l'équation proposée. Si l'on remarque que, pour une valeur donnée positive de x, y ^= tx est d'autant plus grand que t est plus grand, on voit qu'il faut prendre pour intervalle de variation de t celui f[ui comprend les racines supérieures de l'équation
X t^ — f -t- a: = o, quand x croît de o à -• Or, pour x=zo. on a les racines ^ := o, f = ±00 .
Pour x^^ -; on a les racines
dont la plus grande est i. Nous devons donc prendre pour intervalle d'intégration l'intervalle ( + co , i) (*) ; et notre intégrale s'écrit
r' Ci — ■it^)dt
Suivant la méthode générale des n°^ 163 et 16i,, nous avons (-)
I = )lo°r^ + lo£ï(n-<2)-r-arclang/ — v/3arclang^-- -log (t^—t-i-j) \i
(arc tangf)+:c — y/j
arc lang'
Le premier terme est égal à log2, car, pour t = +cc, la fraction sous le signe log est égale à i, puisque son numérateur et son dénominateur admettent tous deux ^* pour partie principale (n» 126).
Le second terme vaut -
Le troisième vaut — vof 7
(>) On arrive au même résultat, et d'une manière en quelque sorte moins abstraite, en construisant la courbe. Parmi les trois arcs compris entre les deux droites x = o,
X = -) on prend le plus élevé et l'on voit immédiatement comment varie t quand
le point {x.y) décrit cet arc, qui est ici la moitié de la boucle comprise entre Oy et la première bissectrice. (Le lecteur est prié de faire la figure.) (-) Le lecteur est prié de faire les calculs.
Haag. — Exercices, l. 6
CIIAPITUE XIII.
Nous avons donc
f^ u jC^ ce — }— l
*. Calculer I = / — dx.
Employons la méthode de réduction (n° 108) ('). Nous avons \,l x'- — X ^- \ x''- — .r -t- I I
^ ' ^ X- — X -^i yj x^ — X ^ \ ( X — 1 ) \/x- — .<■ -i- 1 "
r xdx r V -i)^^'^ i r
J Jx'^ — X -\-l J J X- — X -\- \ '^ J
Calculons / ■ • On a
dx
dt
Posons dès lors Nous avons
= log / / 4- â //2 ^ 2 j = log (x—-^^ s/^- —x^\\ .
r dx
Nous avons maintenant à calculer / — • Posons
( n" 108) .v — I z= - ; l'intégrale devient / — (-), nui se déduit
de (i) par le changement de .r en — / et a. par conséquent, pour valeur
o<^( — l h- \/(--T- 1 -i- 1 ) = io
(') Nous conseillons au lecteur, à litre d'exercice el jjour comparer la rapidité des deux méthodes, d'utiliser aussi le rliati;;eiiicnt de \aiiai)ie ^'x- — .r -i- i = .r -i- / (n» 167;.
('■') ICn su|jposatil, pour lixcr les idées, t-^o, c'est-à-dire x<C.i-
Finalement, nous avons
I = \J X- — X ^\ + - log ix — --f- \J X'- — x-^i \ M-log / '^ 1- sj X- — X-^1
f* oc dx
