Calculer

/ (\ogx)" dx, I (arc s\n,Ty- dx.

[Intégrer n, 2 fois par parties.] 16. Calculer

f" X dx r X(i -In c<

J ces- 57 J sin

[Intégrer par parties en prenant « ^ ,r.]

x(>.-¥- cos.r ) d.r

EXERCICES RÉSOLUS

1. Longueur d'un arc de parabole. — Soit la parabole /- = 2/?jp. ^'ous voulons calculer la longueur de lare OM, M étant défini par son ordonnée j". L'élément linéaire est donné par la formule

ds-i = dx' -f- dr- = dy-(l-r- ^^j'

Donc

s= f i/i^—,dj = p I \/i^f' dl.

Calculons l'intégrale indéfinie I = / \/' + ^' ^^t. On a (n° 168)

V^ dt :

d'où

et enfin

I = -[log(<-h v/i-^r2)^^v/i-^/--^]

loS'l —

2. Longueur d'une cardioïde. — Soit la cardioïde d'équation polaire

0 = a costo -I- a.

On a

ds- = do--^ ç>- dto- = rt-[sin-to + (i -+- cosco)"-] d(.o^

=: 'j.a-(i -+- COSO-) ) aw- = .\a'- cos^ — «w-;

d'où

ds = •>. a cos — dui,

la I cos — rtto = 4« sin —

Si Ton veut la longueur totale, il suffit de faire oj — - et de doubler, ce qui donne s=:Sa.

3, Longueur d'une loxodromie. — Soit la loxodromie dont l'équation est, en coordonnées polaires sphériques,

On en déduit

tans;- = e'"? (/?? = const.).

mes = loo tang-? m do ^ —. — -:

- 2 ' sinO

d'où, en appelant R le rayon de la spiière qui porte la loxodromie,

\ rn- j \ m- J

rf5=:R4/n jc?e, 5 = R4/ 1-4- — (e,-Oi),

en appelant s Tare compris entre les deux points M,, Mode colatitudes 5, et 5.,.

En particulier, si M, tend vers le pôle, 0^ tend vers zéro, s tend vers

la limite finie Ri /i 4 ^j, bien que M, tourne indéfiniment autour

du pôle.

4. Ab'e comprise entre une hyperbole équilatère et son asymptote. — Soit l'hyperbole équilatère J7y = a-. Evaluons l'aire A comprise entre cette ligne, l'axe des a:, et les parallèles à Or d'abscisses oc^ et ^2- Nous avons

A = / y dx = a"- I — = a'^f log.r)';- = «2 log i .

liln particulier, on voit que, si a r= i. logj? représente l'aire comprise entre l'hyperbole, son asymptote et les parallèles à Oj d'abscisses i et .r. C'est à cause de celle propriété qu'on donne quelquefois aux logarithmes népériens le nom de logarithmes hyperboliques.

APPLICATIONS DES Ql^'ADRATL UES. gS

5. Aire de l'ellipse. — Soit à calculer Taire limitée par l'ellipse

(1 équation ^ -, i = o.

Les calculs les plus simples sont obtenus en exprimant j? et 7' au moyen

de l'anomalie excentrique, soit

X ^ a cosco, y = b sino.

iNous avons alors ( n° 175)

A = - / ( X—, K-;- ) d'^ = - ab I (cosses -t- sin-'j») do = r.ab.

L'aire du secteur balayé par OM quand es croît de o, à (p2 ^st égale à — ('-p2 — 9i )• ce qui s'explique aisément si Ton considère l'ellipse comme projection de son cercle principal.

6. yiire de la lemniscale de Bernoulli. — Soit la lemniscate d'équation polaire p-:=cos2(i). Un a (n° 175)

TM /sinawy A = 4 ; - ces 1 o) rt w = 1 = I .

7. Aii-e de l'ellipsoïde de révolution. — Soit l'ellipsoïde engendré par l'ellipse de l'exercice n" 5 en tournant autour de Oy. L'élément d'aire correspondant à l'accroissement d(î/ de l'anomalie excentrique est

f/A = 'XT..r ds = i — a co^'^^a- sin-cp -f- b'^ cos-ç do. On a donc

\ := -2 I i-a\/ a- sin-<ç -+- b'^ cos-cp coso do.

Faisons le changement de variable sino = ^; il vient

c'-t'-— b- dt =

I ~ab

du\

ou. en tenant compte d'un calcul <léjà fait (exercice n° 1 ),

lo,(j-^H-g)^î^,

A titre de vérilicalion, on peut clierclier ce ([ue devient cette exprès-

94 CIIAPITRK \IV.

sion lorsque r/ tend vers b: on doit, en effet, relrouver l'aire de la sphère de ra3on b. IVous laissons au lecteur le soin de s'en rendre conijDle, en se reportant au n" 126.

8. Volume du tore. — Soit le tore engendré par le cercle c en tournant autour de Oz {Jig. 5). Coupons-le par le plan de cote z\ nous

Fis. J.

obtenons une couronne comprise entre deu\ cercles de rayons x el x' , abscisses des points M et INI'. Laire de celte couronne est

(i) A(;;) = T.ix-^— x"^) = t.(x — t' ) {x -+- x' ) = TiMM'.aa = aTir/.MM';

lélément de volume est, par suile,

(2) f/V = 2T:rtMM\/-.

Pour éviter les radicaux, prenons pour variable d'inlégralioii Tanyle ACM z=: o; nous le ferons croître de o à - el nous doublerons le volume obtenu, pour avoir le volume total. Nous avons, de la sorte, INIM' = 7, R coso, ^=Rsino, ofc = R coscp c?cp;

( i -!- cos 2 i ) (^o = 4 71 R'- a ( (j3 -H

= iT^a^'^.

9. Masse d'un cube sachant que la densité en chaque point est égale à la quatrième puissance de la distance à un sommet. — Prenons trois axes de coordonnées formés par les arêtes f|ui aboutissent au sommet considéré. On ne peut songera découper ])ar les surfaces d'égale densité; car ce sont des sphères de centre O, qui donneraient lieu à des volumes compliqués dés que leur rayon dépasserait l'arêle a du cube. Les seules surfaces simples qui permettent de halaver commodément tout le cul)e sont des plans parallèles aux plans de coordonnées.

APPLICATIONS l)i:s OUADHATURKS. QD

Coupons j3ar les plans (.r) et {,v -\- d.v). Nous oblenons une petite tranche, dont il faut calculer la masse dm. Gomme elle n'est pas homogène, nous la découpons à son tour par les plans (/), {.v -+- df)- Nous obtenons une petite bande, dont il faut calculer la masse d^Di. Comme elle n'est pas homogène, nous la découpons par les plans {z), {z -\-dz). Le petit morceau obtenu est sensiblement homogène et a pour masse

Puis

d^ m = OiM dx dy dz ^^ {x'-+- y- -t- z-)- dx dy dz.

di m = dx dy 1 ( x- ■+- y^ -h z'^ f- dz

= dx dy {x--^ y-ya -4- oÀ x"- -\- y''-) — H — r- ;

dm = dx I {x--hy'^)-a -h "i^X'-i- y- )— — i — ^ dy

, r , , rt'^ «^ ift- / ^ a^\ a-'l = a dx \ x*a -\- '2X'- — — F- -: — I ( x- a -+- ■ — h

= «- dx ( X' -\ — - a-X'^ ^ a'' );

dm = a- f ( 3-* -H - rt-^- -t- -— a^ ) dx

10. Centre de gravité d'un arc d'hélice. — Soit l'arc d'Iiélice AB décrit par le point M de coordonnées (t. II),

(i) 3" = H cosç, y ^ \\ sin cp, z =: ko,

lorsque 9 croît de — a à -+- a. Il admet Ox pour axe de symétrie; donc, si on le suppose honiogène, sou centre de gravité est sur cette droite.

On a (n« 181)

^ ni

en appelant /// la masse réelle obtenue en supposant, par exemple, la densité égale à 1 et ntj la masse fictive correspondant à la densité jc. Or, '

dm = ds = \i dx- 4- dy- -i- dz- = y/R- -+- k- d-o,

dm-,. =^ X dm = R y/R^ -+- k- cos o do ;

m = /U- -H k- . ».a, m,g = R\/R--t- k- .> sin a. Donc

(3) -ÛG = r'-^

Iiet)iarque. — OG est indépendant de k. Or. pour k=:o, Tare AB se réduit à l'arc de cercle al> {fig. 6). Donc, le centre de grcnité d'un

Fiit. 6.

arc d'Iiélice coïncide avec celui de sa projection sur son plctn de section droite moyenne.

11. Centre de gravité d'une demi-ellipse. — Soit l'ellipse de Texercice n° 5. Cherchons le centre de gravité de Taire qu'elle comprend à

droite de Ot. Il se trouve sur Ox à une distance OG = — ^•

En supposant la densité égale à i, nous avons déjà m =z

cice n° 5). Calculons /«j;,

Découj)ons par des parallèles à Oy. Nous avons {Jig. ~)

dm.c = X . aire MM' N' N = x iMN dx = lyx dx. Fig. 7.

-ab

(exer-

Or, en difTérenliant l'équalion de lellipse, nous avons

X dx y dv

I)onc

dmj: = — -ly — ydy=—-j^ j 2 dy ;

APPLICATIONS DES Qt AnnATLllES .

d'où, en inlégraut le long de l'arc B.V (n° 178),

Finalement,

OG

~ab

= Tl «•

12. Centre de gravité du segment sphérique. — Il se trouve sur l'axe O:; du segment {fig. 8). Cherchons sa cote OG =r — -■ En suppo-

Fii;. 8.

sant toujours la densité réelle égale à i et coupant par des plans perpendiculaires à Oc, nous avons

dm = TzlM' dz = -(R^ — z'-)dz, dm-= -{R-^ — z'' )z dz;

jn = - I ( K--i — z.i ) t/i = TC R2 ( 6 — a ) — ^ ( />3 — «s )

- h(3 IV- ~ <r- — ù-2 ^ ab).

z az = Tz — {/j- — et- ) ( />4 — a '

tJi( a ~h ù )

1 K- — ly- — «-);

Ob = -(rt + 6)— ^ .

\ ô i\- — a'—b- — ab

Comme vérification, OG s'annule pour a ■=: — b, c'est-à-dire quand O est centre de symétrie du segment.

13. TnÉoufeMus DE Gi:Lni>. — 1. L'aire engendrée par un arc de ligne plane, en tournant autour d'un axe Oz situé dans son plan et ne le llAAd. — Exercices, I. n

98 CIIAPITIU'; XIV.

rencontrant pas. est égale à la longueur de cet arc multipliée par la longueur de la circonférence décrite par son centre de granité.

En etlel. nous avons ( n" 176). en prenant, dans le plan de la ligne, un axe des .r perpendiculaire à Oc.