r ds

Or, si l'on imagine que l'arc, supposé homogène, ait pour densité 27:, son centre de gravité a pour abscisse

^lAli

d'où

II. Le volume engendré par une aire plane, tournant autour d' un axe situé dans son plan et ne la rencontrant pas, est égal au produit de cette aire par la longueur de la circonférence engendrée par son centre de granité.

En efl'el, décomposons l'aire en petits morceaux par des parallèles à Ox et à Oz. Nous obtenons de la sorte, en négligeant les morceaux irréguliers qui sont au voisinage du périmètre, de jielils rectangles

tels que AI')C1> {Jig. 9). Celui-ci engendre un petit anneau, dont le volume est

V = 7c(eB^ — KA^ JAD = - A 1^ ( VA', — HA ) ( EB -i- i: A ) = 2 - . A D . A 1! . VM = > - . l'Ai x aire ABCD,

en désif^nant par AI le centre du rectani;le.

Le volume V engendré par l'aire totale est évidemment la limite de la somme des volumes v lors(fue le nombre des petits rectangles augmente

APPLICATIONS DES (Jl ADRATLRES. 99

indéfiniment, chacun d'eux tendant à se réduire à un point (*), On a donc

V = lini(2:7.-P.M X aire ABGD).

Mais, cette limite est aussi le numérateur de l'abscisse X du centre de gravité de l'aire plane, supposée homogène et de densité ar; le dénominateur étant alors 27:. A, en appelant A la mesure de l'aire. On a donc

d'où

V = 'l-AX = A X 2 7:X. C. Q. F. D.

Ces deux théorèmes peuvent servir soit à calculer des surfaces ou des volumes, soit à déterminer des centres de gravité. Par exemple, la surface et le volume du tore s'en déduisent immédiatement. De même, en partant de la surface ou du volume de la sphère, on peut obtenir le centre de gravité de la demi-circonférence ou du demi-cercle.

ik. Moment d'inertie d'une sphère homogène par rapport à une droite quelconque de l'espace. — Menons par le centre O de la sphère une droite D' parallèle à la droite D donnée. Si d désigne la distance de O à D, on a (n° 18i)

Tout revient donc à calculer Ij, . Or, le moment d'inertie d'une sphère homogène est évidemment le même par rapport à tous ses diamètres. D'autre part, la somme des moments d'inertie par rapport à trois diamètres rectangulaires est égale à deux fois le moment d'inertie par

rapport au centre (n° 183); de sorte que In =: - lo-

Or, rien n'est plus aisé que le calcul direct de 1(,. Si nous découpons par des sphères concentriques, le moment d'inertie élémentaire du volume compris entre deux sphères consécutives de rayons r et /• -\- dr est sensiblement, en appelant p la densité ('-),

c?I = p X 4~'" dr.i' = 4~P'" dr.

(') Ceci revient à admettre que faire engendrée par les morceaux irréguliers tend vers zéro, ce qui semble assez intuitif. Le lecteur ne doit pas cependant considérer ceci comme une démonstration entièrement rigoureuse, laquelle sortirait des limites de cet Ouvrage.

(-) La partie principale du volume compris entre les deux spliéres est la diiréren-

tielle de -~'"', volume de la s|ilicie de rayon r ( n° 13!^ )•

lOO

Donc

CHAl'ITHI-: \iv.

''•:'^' =Unv-,

on M représente la masse de la splière.

lo. Monienl d'inertie d'un tétraèdre régulier par rapport à une hauteur (E. P., 1911). — Il ne faut évidemtnent pas songer à aborder le calcul direct, car les cylindres de révolution avant pour axe la hauteur coupent les faces du tétraèdre suivant des ellipses et déterminent entre eux. des volumes beaucoup trop compliqués. Considérons au contraire

les deux plans rectangulaires SAIl et SEIID (//:,'. 10). Nous avons (n°183)

'su = 'sAll-H IsEI).

Calculons ls,\i|. Coupons par des plans parallèles situés aux distances j? et .r + dx de SAIl. La tranclie ainsi obtenue a sensiblement pour moment d'inertie, en appelant 0 la densité,

d\ ~ aire M^F .dx%çjx''-.

(a — -ix)-

■oA.VS = lAA'.Sll = i«^ai/^ = ^^; 'j. i. -i. \ ^ .^^.,

APPLICATIONS DES Ql AORATL UES. lOl

d\ = ox"- dx = — = ' (a-x- — ja.r'-f- ^x'*) dx,

JsAll=i / —{a-X- 4«-î" -i- 4-^0 «.^' = -^ = AI ■>

en appelant M la masse du télraèdre.

Il s'agit maintenant de calculer I.sed. On pourrait faire ce calcul directement comme le précédent. Il serait aussi simple pour ce qui concerne la portion SADE du tétraèdre et serait un peu plus compliqué pour ce qui concerne la portion SEFJBC. Nous irons plus vite en remarquant que, par raison de symétrie, les moments d'inertie sont les mêmes par rapport aux trois plans SHA, SHB, SHC, et en nous appirvarit, d'autre part, sur le théorème général suivant :

Théorème. — Si le moment d' inertie d'un milieu est te même par rapport à trois plans passant par une même droite^ il est le même par rapport à tous les plans passant par cette droite.

En efiet, le moment d'inertie par rapport à un plan quelconque

X cosa -r- ^^ sin a = o passant par 0 z est

I = 1.m{x cosa -+- y sin a/- = A cos-a -h aB sin a cosa -;- C sin- a,

en posant

A = Z mx-, B = Zmxy, C = Zniy-.

Si, dans cette formule, on considère I comme donné et qu'on clierche a, on a une équation du second degré en tanga, qui ne saurait admettre trois racines sans être vérifiée identiquement. Autrement dit, trois plans ne sauraient donner la même valeur pour I sans quil en soit de même pour tous les autres. (.. (j. i". d.

Cela posé, si nous revenons à notre tétraèdre, nous voyons qu'il admet le même moment d'inertie par rapport à tous les plans passant par SU. Donc, en particulier Ised=Isaii; à'oii

Isii= '^IsAH= ^I — •

EXERCICES PROPOSÉS

1. Calculer la longueur de la cycloïde, de la cliarnelle (t. II).

2. Pteclifier les spirales logarithmique, d'Archimède. luperlx^licpre

\ ' ' ' lu /

I02 CHAPITltt: \1V.