Intégrer l équation

y'^ — '^yf -^ j^ = o ( i'>- p • , 1 906 ).

Cette équation n'est pas résoluble par l'apport ;•> >'; mais elle représente une courbe unicursale (folium de Descartes) si Ion y regarde jj' et y' comme des coordonnées courantes.

Posons

y' = iy;

nous obtenons

il y' = ) at — y ax = dx ;

dx

I — f.t'^jdt

= — \/i arc tang

t-— I -r- ■it — \

dl:

con.'-l.,

ÉCLATIONS DIFFKRENTIELLES. Il3

Telles sont les équations paramélri([iies de iiiilégrale générale. 8. InLégrev l'équation

La variable x manque. Posons (n» 193)

Nous obtenons l'équation linéaire du premier ordre

k I I /dv\-

doù l'on tire

ydy

qui, intégrée, nous donne

I i / dy\-

= - ( -r- I ( A- = const.);

y- 2 \dx J

J ^Mky-x) Posant

lcy — i = t\ il vient

X — aro = -r- / ^\-^ t-)dt — -r- [l -^ — \ (Xo= const.),

ou, en élevant au carré et remplaçant /- par ky — i,

{x — x^y-^ -Arji^y — iKAjK^'i)-.

Telle est l'équation de l'intégrale générale. 9. Intégrer V éfjualion

fi=:y" — 3r'-i- -^.y = 37^ -+- 37^ c h J7 -f- are-f cosa^.

I. Equation sans second membre. — L'équation caractéristique /•- — 3r + 2 z:^ o a pour racines i et 2; d'où

(i) Xo= Cie-^-f-Cje--^.

IL fz=. JC-. — Substituons y ^= ace- -h bx + c (n° 198) :

y =^ ax- -\- bx -^ c. •>.,

y =■ xax -r- b, — S,

Haag. — Exercices, I. 8

î l4 CHAPITUK XV.

En mulliplianl par les facteurs écrits à droite et ajoutant, on doit trouver a-'-. Donc

•2 (7 = I , lb (uf = o, ■>.€ — 3 6 -H -2 « = o,

d'où l'intégrale ])articulière

y3 ^.r / gx f,—.x \ T- • 1

m. /= — - ( nous décomposons ch^ en 1 —y — Faisons le

changement de variable y =. e^' z (n° 198, II): Téquation transformée s'écrit immédiatement (les nouvelles racines de l'équation caractéristique sont o. i)

d'où, en intégrant (')

Substituons

z = ; — \- ax^ -^ bx--+- c X -{- d, — i ,

z' =: ■ x^ -^"iax--^- nbx -^ c^ i,

d'où