Intégrer l'équation

5y' — )- siiij' -i- j'* sin^a' =: o.

C'est une équation de Bernoiilii ( n° 10*i); elle s'écrit

ou, en posant ;=:—-»

^^— — ■ — sin.r -+- SI 11 2 .î' = o.

,z sin.r =: siii2.r.

]]quation sans second membre

= — - sin^ cLr,

lo^^^ = - ces j" -i- loi; C, z — Ce'

\ ariaiion de la constante

^ Ce' = sin>. .r, C = / -^ t' * sin 2, ro'.r.

Posons il vient

/• j — - COS.f

— -cosa; = /, - sina" t/./- = f//,

C = fe' (- '^tyit=-'-^ fe' trlt^-'^ (e' t - f e' ctt)

10 10 -rcosj/ •] \

= — c'ii — M -i- const. = — e " i -h - cosr -î- corisl.;

ÉQUATIONS DIl-FKRKXTIELI.ES. III

TO / 3 \ - cos.r

•; = ^7- ( I -(- — cosa- ) -1- Ae' (k = const. ),

(). Intégier l'équation

y = T A j') -t- si y')-

Celle équation, qui est dite équation de Lagrange, rentre dans le prennier cas examiné au n" 193; car, si l'on y regarde or ei y comme des coordonnées courantes, elle représente une droite et par suite une courbe unicursale. Comme paramètre /, nous pouvons garder œ. Nous posons, d'autre part ( n" 193),

/ N , dy

Nous avons alors (2) y = xf{u)-\- g{u);

d'où

( 3 ) dx f{ u) -T- X f ( u ) du -h g' ( u) du — u dx

Celte équation est linéaire par rapport à u. On Fintégrera, ce qui donnera (n° 191)

(5) ^ , (C = const.)

pour équations paramétriques de l'intégrale générale.

Cas particulier. Équation de Clairaut. — L'équation (4 ) cesse d'être une équation diflerenlielle dans le cas particulier où /(//) = u. L'équation correspondante

est dite équation de Clairaut.

Dans ce cas, Téqualion (4) donne

On n'a plus de constante arbitraire. En réalité, ceci lient à ce qu'il n'est pas légitime, dans le calcul actuel, de diviser l'équation (3) par di/ pour obtenir l'équation (4). La première se réduit en effet à

et donne : soit

d'où la courbe (7); soit

d'où

du [x -h g' { u)\ = x = — g'{u),

du = o, u = coiist. = G

j^'intégrale générale est constituée j)ar l'équation (8). ((ui se déduit de (6) par le simple remplacement de v' par une constante, et qui représente une famille de droites. La courbe (7) n'est autre que l'enveloppe de ces droites (t. II) et constitue ce qu'on appelle une intégrale singulière.